千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2019年8月実施専門 B7

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$X=C([0,1];\mathbb R)$ に一様ノルムを入れる。 $\varphi\in X$ に対し $Tf(t)=\varphi(t)f(t)$ とし、 $Y=\{f\in X:T^nf\text{ が }X\text{ で収束する}\}$ とおく。

(1) $\|Tf-Tg\|\le M\|f-g\|$ となる $M>0$ の存在を示せ。(2) $\|\varphi\|<1$ ならば $Y=X$ を示せ。(3) $\varphi(t)=t$ ならば $Y=\{f:f(1)=0\}$ を示せ。(4)

\varphi(t)=\begin{cases}2t&0\le t\le1/2,\\1&1/2\le t\le1\end{cases}

のとき $Y$ が閉集合であることを示せ。

在区间连续函数的 Banach 空间中定义乘法算子，以 $Y$ 表示迭代在一致范数下收敛的函数集合。(1) 证明有界性。(2) 乘子范数小于一时证明所有函数都收敛。(3) 乘子为 $t$ 时刻画 $Y$ 。(4) 乘子按上式分段线性时证明 $Y$ 闭。

(1) $|Tf(t)-Tg(t)|\le\|\varphi\|\|f-g\|$ 。上限をとればよく、 $M=\max\{1,\|\varphi\|\}$ とできる。

(2) $\|T^nf\|=\|\varphi^nf\|\le\|\varphi\|^n\|f\|\to0$ 。従って $Y=X$ 。

(3) 各点極限は $t<1$ で $0$ 、 $t=1$ で $f(1)$ 。一様極限は連続なので、収束するなら $f(1)=0$ が必要である。

逆に $f(1)=0$ ならば、任意の $\varepsilon>0$ に対し、ある $a<1$ で $a<t\le1$ なら $|f(t)|<\varepsilon$ 。従って

\|t^nf(t)\|\le\max\{a^n\|f\|,\varepsilon\},\qquad\limsup_{n\to\infty}\|t^nf(t)\|\le\varepsilon.

$\varepsilon$ は任意なので一様に零へ収束する。

(4) 各点極限は

h(t)=\begin{cases}0&t<1/2,\\f(t)&t\ge1/2.\end{cases}

一様収束なら連続性から $f(1/2)=0$ が必要。逆にこの条件があれば、(3) を $[0,1/2]$ に尺度変換して適用すると左半区間で一様に零へ収束する。右半区間では $T^nf=f$ だから全体で $h$ へ一様収束する。従って

Y=\{f\in X:f(1/2)=0\}.

評価写像 $f\mapsto f(1/2)$ は連続線形写像なので、その核 $Y$ は閉集合である。