千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 B6

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• First-Order-Ordinary-Differential-Equation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $0<x_0<1$ とし、$x\in C^1(\mathbb R,\mathbb R)$ が $x'=-x+x^2$, $x(0)=x_0$ を満たすとする。(i) $\lim_{t\to\infty}x(t)=0$、(ii) $\lim_{t\to\infty}e^tx(t)$ が存在することを示せ。

(2) $g\in C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$, $g(0)=g'(0)=0$ とし、$y'=-y+g(y)$, $y(0)=y_0>0$ の解 $y\in C^1(\mathbb R,\mathbb R)$ を考える。(i) ある $\delta>0$ に対し $0<y_0<\delta$ ならば $y(t)\to0$ となることを示せ。(ii) 同様に十分小さい正の初期値なら $e^ty(t)$ の極限が存在することを示せ。

题目描述

(1) 对 logistic 型方程 $x'=-x+x^2$ 的 $0<x_0<1$ 初值解，证明趋于零且乘以 $e^t$ 后有极限。(2) 将非线性项推广为满足 $g(0)=g'(0)=0$ 的光滑函数，证明足够小的正初值具有同样性质。

Kai

(1) 変数分離と初期条件から

$$x(t)=\frac{x_0}{x_0+(1-x_0)e^t}.$$

従って (i) $x(t)\to0$、(ii) $e^tx(t)\to x_0/(1-x_0)$。

(2) $g(0)=g'(0)=0$ より、十分小さい $\delta>0$ とある $C>0$ を選び、$0\le u\le\delta$ で

$$|g(u)|\le Cu^2,\qquad |g(u)|\le u/4$$

とできる。$0<y_0<\delta$ とする。

(i) $0<y\le\delta$ では $-5y/4\le y'\le-3y/4$。解の一意性により正の解は平衡解 $0$ と交わらず、減少するため $\delta$ を超えない。従って全 $t\ge0$ で

$$0<y(t)\le y_0e^{-3t/4}\longrightarrow0.$$

(ii) 積分因子を用いると

$$e^ty(t)=y_0+\int_0^t e^sg(y(s))\,ds.$$

上の評価により

$$|e^sg(y(s))|\le Cy_0^2e^{-s/2}.$$

右辺は $[0,\infty)$ 上可積分なので、広義積分は絶対収束する。従って $\lim_{t\to\infty}e^ty(t)$ は有限値として存在する。