千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 B5

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• 柯西积分公式

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

自然数 $n$ に対して次を求めよ。円周は正の向きにとる。

(1) $\displaystyle\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^{n+1}}\,dz$。

(2) $\displaystyle\int_0^\pi e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta-n\theta)\,d\theta$。

题目描述

对自然数 $n$，(1) 计算单位圆周上的给定复积分。(2) 利用它计算给定实三角积分。

Kai

(1) Cauchy の積分公式から

$$\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^{n+1}}\,dz=\frac{(e^z)^{(n)}|_{z=0}}{n!}=\boxed{\frac1{n!}}.$$

(2) $z=e^{i\theta}$（$-\pi\le\theta\le\pi$）とおくと

$$\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^{n+1}}\,dz =i\int_{-\pi}^{\pi}e^{\cos\theta}e^{i(\sin\theta-n\theta)}\,d\theta.$$

実部の余弦項は偶関数、虚部の正弦項は奇関数である。従って右辺は

$$2i\int_0^\pi e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta-n\theta)\,d\theta.$$

(1) と比較して答えは $\boxed{\pi/n!}$。