千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2019年8月実施専門 B4

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$\mathbb R^3$ 内の部分空間

A=\{(x,0,0):-1\le x\le1\}\cup\{(0,y,0):-1\le y\le1\},\qquad B=\{x^2+y^2+z^2=1\},\qquad X=A\cup B

を考える。(1) $H_q(A;\mathbb Z)$ （ $q=0,1$ ）、(2) $H_q(B;\mathbb Z)$ （ $q=0,1,2$ ）、(3) $H_q(X;\mathbb Z)$ （ $q=0,1,2$ ）を求めよ。

单位球面 $B$ 内放置沿 $x,y$ 轴的十字线段 $A$ ，四个端点接触球面，令 $X=A\cup B$ 。分别求 $A$ 、球面以及并空间所要求阶数的整数同调群。

(1) $A$ は原点へ縮められるので可縮であり、 $H_0(A)=\mathbb Z,H_1(A)=0$ 。

(2) $B=S^2$ なので $H_0(B)=\mathbb Z,H_1(B)=0,H_2(B)=\mathbb Z$ 。

(3) $A\cap B$ は四つの端点である。この分解に Mayer–Vietoris 完全列を適用する（適合する胞体分割、または同じ変形収縮型の開近傍を用いる）。高次部分から $H_2(X)\cong H_2(A)\oplus H_2(B)\cong\mathbb Z$ 。

低次部分は

0\longrightarrow H_1(X)\longrightarrow\mathbb Z^4 \xrightarrow{\alpha}\mathbb Z^2\longrightarrow H_0(X)\longrightarrow0,

\alpha(a_1,a_2,a_3,a_4)=(a_1+a_2+a_3+a_4,-a_1-a_2-a_3-a_4).

従って核は $\mathbb Z^3$ 、余核は $\mathbb Z$ 。よって

\boxed{H_0(X;\mathbb Z)=\mathbb Z,\quad H_1(X;\mathbb Z)=\mathbb Z^3,\quad H_2(X;\mathbb Z)=\mathbb Z}.