千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 B3

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• Differentiable-Manifolds-and-Regular-Values

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\pi:\mathbb R^3\setminus\{0\}\to\mathbb{RP}^2$, $(x,y,z)\mapsto[x:y:z]$ を射影とする。

(1) $f(x,y,z)=(xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)$ に対し、$f=\widetilde f\circ\pi$ となる $\widetilde f:\mathbb{RP}^2\to\mathbb R$ が存在することを示せ。(2) 最大値 $M$、最小値 $m$ が存在することを示し、その値を求めよ。(3) $N=\widetilde f^{-1}(M)$, $W=\widetilde f^{-1}(m)$ は部分多様体か。そうなら次元と微分同相な多様体の例を挙げよ。

题目描述

给定三维空间去原点到实射影平面的射影，以及上式零次齐次函数。(1) 证明它下降为射影平面上的函数。(2) 求最大最小值并证明可达到。(3) 判断取极值的集合是否为子流形，给出维数和微分同胚类型。

Kai

(1) 任意の $r\ne0$ に対して $f(rx,ry,rz)=f(x,y,z)$。従って

$$\widetilde f([x:y:z])=\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$$

は代表元によらず定まる。射影座標で有理関数として表され、分母が正なので滑らかである。

(2) $\mathbb{RP}^2$ はコンパクトな $S^2$ の連続像なのでコンパクト。従って連続関数 $\widetilde f$ は最大・最小をとる。また

$$f=\frac12\left(\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}-1\right),\qquad 0\le\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}\le3.$$

上限は $x=y=z\ne0$、下限は $x+y+z=0$ で達成されるので $\boxed{M=1,m=-1/2}$。

(3) $N=\{[1:1:1]\}$ は0次元部分多様体で、一点空間と微分同相。$W$ は平面 $x+y+z=0$ の射影化であり、線形座標変換により標準射影直線に移る。従って1次元部分多様体で

$$W\cong\mathbb{RP}^1\cong S^1.$$