千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 B2

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• Galois-Groups-and-Intermediate-Fields

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$L=\mathbb Q(X)$, $Y=X^2+X^{-2}$, $K=\mathbb Q(Y)$ とする。

(1) $X$ の $K$ 上の最小多項式を求めよ。(2) $L/K$ が Galois 拡大であることを示し、Galois 群を求めよ。(3) $K,L$ 以外の中間体をすべて求めよ。(4) $F=\mathbb Q(X^3+X^{-3})$ に対し、$L/F$ が Galois 拡大か否か理由付きで答えよ。

题目描述

在有理函数域 $L=\mathbb Q(X)$ 中，以 $X^2+X^{-2}$ 生成子域 $K$。(1) 求最小多项式。(2) 证明 Galois 性并求群。(3) 求全部真中间域。(4) 改用 $X^3+X^{-3}$ 生成子域时，判断扩张是否 Galois。

Kai

(1) $X$ は $T^4-YT^2+1$ の根である。一方、$X\mapsto X,-X,X^{-1},-X^{-1}$ は相異なる $K$ 自己同型を与えるので $[L:K]\ge4$。従って次数は4で、最小多項式は

$$\boxed{T^4-YT^2+1}.$$

(2) この多項式の根 $\pm X,\pm X^{-1}$ はすべて $L$ に含まれ、標数0なので分離的である。従って Galois 拡大で

$$\operatorname{Gal}(L/K)=\langle\sigma,\tau\rangle\cong C_2\times C_2, \quad\sigma(X)=-X,\quad\tau(X)=X^{-1}.$$

(3) 位数2の部分群は三つであり、その固定体はそれぞれ

$$\boxed{\mathbb Q(X^2),\qquad\mathbb Q(X+X^{-1}),\qquad\mathbb Q(X-X^{-1})}.$$

実際、各生成元はそれぞれ $\sigma,\tau,\sigma\tau$ で固定され、$X$ は各体上の2次方程式を満たす。非自明な自己同型で固定されるため拡大次数はちょうど2。Galois 対応よりこれらで尽くされる。

(4) $Z=X^3+X^{-3}$ とおく。$T^6-ZT^3+1$ は $\mathbb Q(Z)[T]$ で既約である。実際、$Z$ について1次で、$T^6+1$ と $T^3$ が互いに素なので、$\mathbb Q[T,Z]$ での因数分解は存在しない。Gauss の補題を用いればよい。

その根には $\zeta X$（$\zeta$ は原始3乗根）があるが、これは $\mathbb Q(X)$ に属さない。もし属せば $\zeta\in\mathbb Q(X)$ となるが、$\mathbb Q(X)$ 内で $\mathbb Q$ 上代数的な元は有理数のみである。したがって最小多項式は $L$ 内で分解せず、$\boxed{L/F\text{ は Galois 拡大でない}}$。