千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 B1

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• Group-Homomorphisms-and-Quotient-Groups

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

群 $G$ の部分群 $H$ に対し、正規化群 $N_G(H)=\{g:g^{-1}Hg=H\}$、中心化群 $C_G(H)=\{g:g^{-1}hg=h\ (h\in H)\}$ を考える。

(1) $C_G(H)\trianglelefteq N_G(H)$ を示せ。(2) $G=GL_2(\mathbb F_p)$、$H$ を可逆対角行列全体とするとき、(i) $|C_G(H)|$、(ii) $|N_G(H)/C_G(H)|$ を求めよ。(3) 有限群 $G$ の位数が $p$ で割り切れ、$H$ が $N_G(H)$ の Sylow $p$ 部分群なら、$G$ の Sylow $p$ 部分群でもあることを示せ。$p$ 群 $P$ の真部分群は $H\subsetneq N_P(H)$ を満たす事実を用いてよい。

题目描述

(1) 证明中心化子是正规化子的正规子群。(2) 对有限域上的二阶一般线性群及可逆对角子群，求中心化子的阶及正规化子模中心化子的阶。(3) 利用有限 $p$ 群的正规化子性质，证明若 $H$ 是自身正规化子中的 Sylow $p$ 子群，则也是全群中的 Sylow $p$ 子群。

Kai

(1) 共役による準同型

$$N_G(H)\longrightarrow\operatorname{Aut}(H),\qquad g\longmapsto(h\mapsto ghg^{-1})$$

の核が $C_G(H)$ なので、これは正規部分群である。

(2) $p=2$ では $H=\{I\}$ であり、$C_G(H)=N_G(H)=G$。従って答えは (i) $6$、(ii) $1$。

$p>2$ とする。相異なる $a,d\in\mathbb F_p^\times$ をとり、$\operatorname{diag}(a,d)$ との可換性を調べると、中心化する行列の非対角成分は零となる。従って $C_G(H)=H$ で、位数は $(p-1)^2$。

また $H$ の共通固有直線は二つの座標軸のみなので、正規化する行列はこの二直線を置換する。従って正規化群は可逆対角行列と可逆反対角行列からなり、$|N_G(H)|=2(p-1)^2$。従って

$$\boxed{|C_G(H)|=\begin{cases}6&p=2,\\(p-1)^2&p>2,\end{cases}\qquad |N_G(H)/C_G(H)|=\begin{cases}1&p=2,\\2&p>2.\end{cases}}$$

(3) $H$ を含む $G$ の Sylow $p$ 部分群 $P$ をとる。$H\subsetneq P$ ならば、与えられた事実より $H\subsetneq N_P(H)$。しかし $N_P(H)$ は $N_G(H)$ の $p$ 部分群であり、$H$ の Sylow 性に反する。従って $H=P$。