千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2019年8月実施専門 A4

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

袋には赤玉 $N_1$ 個、白玉 $N_2$ 個、青玉 $N_3$ 個がある。無作為に1個取り出して色を調べ、元に戻す試行を $n$ 回行う。各色の出現回数を $X_1,X_2,X_3$ とする。

(1) 同時分布を求めよ。(2) $X_1$ の周辺分布と期待値を求めよ。(3) $\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$ （ $i,j=1,2,3$ ）を求めよ。

袋内三种颜色球的数量给定，有放回独立抽取 $n$ 次，以 $X_i$ 表示各色次数。(1) 求联合分布。(2) 求红球次数的边缘分布和期望。(3) 求所有方差和协方差。

$N=N_1+N_2+N_3>0$ , $p_i=N_i/N$ とおく。

(1) 非負整数 $x_1+x_2+x_3=n$ に対して

P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3) =\frac{n!}{x_1!x_2!x_3!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3}.

その他の場合は $0$ 。各色の並び方が多項係数通りあり、各並びの確率が積で与えられるためである。

(2) 各試行で「赤」と「赤以外」に分類すれば $X_1\sim B(n,p_1)$ 。従って

P(X_1=k)=\binom nkp_1^k(1-p_1)^{n-k}\quad(0\le k\le n),\qquad E[X_1]=np_1.

(3) 第 $r$ 回に色 $i$ が出る指示変数を $I_{ri}$ とすると $X_i=\sum_rI_{ri}$ 。異なる試行間は独立で、同一試行では $i\ne j$ のとき $I_{ri}I_{rj}=0$ 。よって

\boxed{\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=n(p_i\delta_{ij}-p_ip_j)}.

すなわち分散は $np_i(1-p_i)$ 、異なる色の共分散は $-np_ip_j$ 。