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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 A3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

通常の位相をもつ R\mathbb R の部分空間 A={x:0<∣x∣≤4}A=\{x:0<|x|\le4\} をとり、A−=[−4,0)A_-=[-4,0), A+=(0,4]A_+=(0,4] とする。

(1) A+A_+ は AA で開か。(2) 閉か。(3) AA は連結か。各々理由を付けよ。

f(x)={x−1x∈A+,x+1x∈A−,g(x)={∣x∣∣x∣>2,x∣x∣≤2f(x)=\begin{cases}x-1&x\in A_+,\\x+1&x\in A_-,\end{cases}\qquad g(x)=\begin{cases}|x|&|x|>2,\\x&|x|\le2\end{cases}

とし、x∼y  ⟺  g(f(x))=g(f(y))x\sim y\iff g(f(x))=g(f(y)) による商位相空間を B=A/ ⁣∼B=A/\!\sim、商写像を π\pi とする。(4) BB が Hausdorff でないことを示せ。(5) BB がコンパクトであることを示せ。

题目描述​

实数子空间 A=[−4,0)∪(0,4]A=[-4,0)\cup(0,4] 中：(1) 判断正半部分是否开。(2) 是否闭。(3) 空间是否连通。再按上式函数复合值相等定义等价关系，并赋予商拓扑。(4) 证明商空间非 Hausdorff。(5) 证明商空间紧致。

Kai​

(1) A+=A∩(0,∞)A_+=A\cap(0,\infty) なので開。

(2) A∖A+=A−=A∩(−∞,0)A\setminus A_+=A_-=A\cap(-\infty,0) が開なので閉。

(3) A+,A−A_+,A_- は互いに素な非空開集合で A=A+∪A−A=A_+\cup A_-。従って連結でない。

(4) h=g∘fh=g\circ f とおくと

h(x)={−x−1−4≤x<−3,x+1−3≤x<0,x−10<x≤4.h(x)=\begin{cases} -x-1&-4\le x<-3,\\ x+1&-3\le x<0,\\ x-1&0<x\le4. \end{cases}

h(−3)=−2,h(3)=2h(-3)=-2,h(3)=2 なので [−3]≠[3][-3]\ne[3]。これらの任意の開近傍を U,VU,V とすると、π−1(U),π−1(V)\pi^{-1}(U),\pi^{-1}(V) はそれぞれ −3,3-3,3 の近傍である。十分小さい ε>0\varepsilon>0 について −3−ε∈π−1(U)-3-\varepsilon\in\pi^{-1}(U), 3+ε∈π−1(V)3+\varepsilon\in\pi^{-1}(V) となる。一方

h(−3−ε)=2+ε=h(3+ε)h(-3-\varepsilon)=2+\varepsilon=h(3+\varepsilon)

だから U∩V≠∅U\cap V\ne\varnothing。従って BB は Hausdorff でない。

(5) コンパクト集合 K=[−3,−1]∪[1,4]⊂AK=[-3,-1]\cup[1,4]\subset A をとると

h(K)=[−2,0]∪[0,3]=[−2,3]=h(A).h(K)=[-2,0]\cup[0,3]=[-2,3]=h(A).

従って π(K)=B\pi(K)=B。商写像 π\pi は連続なので、BB はコンパクト集合の連続像としてコンパクトである。

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