千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 A3

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• 豪斯多夫空间
• 紧致性与连通性

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

通常の位相をもつ $\mathbb R$ の部分空間 $A=\{x:0<|x|\le4\}$ をとり、$A_-=[-4,0)$, $A_+=(0,4]$ とする。

(1) $A_+$ は $A$ で開か。(2) 閉か。(3) $A$ は連結か。各々理由を付けよ。

$$f(x)=\begin{cases}x-1&x\in A_+,\\x+1&x\in A_-,\end{cases}\qquad g(x)=\begin{cases}|x|&|x|>2,\\x&|x|\le2\end{cases}$$

とし、$x\sim y\iff g(f(x))=g(f(y))$ による商位相空間を $B=A/\!\sim$、商写像を $\pi$ とする。(4) $B$ が Hausdorff でないことを示せ。(5) $B$ がコンパクトであることを示せ。

题目描述

实数子空间 $A=[-4,0)\cup(0,4]$ 中：(1) 判断正半部分是否开。(2) 是否闭。(3) 空间是否连通。再按上式函数复合值相等定义等价关系，并赋予商拓扑。(4) 证明商空间非 Hausdorff。(5) 证明商空间紧致。

Kai

(1) $A_+=A\cap(0,\infty)$ なので開。

(2) $A\setminus A_+=A_-=A\cap(-\infty,0)$ が開なので閉。

(3) $A_+,A_-$ は互いに素な非空開集合で $A=A_+\cup A_-$。従って連結でない。

(4) $h=g\circ f$ とおくと

$$h(x)=\begin{cases} -x-1&-4\le x<-3,\\ x+1&-3\le x<0,\\ x-1&0<x\le4. \end{cases}$$

$h(-3)=-2,h(3)=2$ なので $[-3]\ne[3]$。これらの任意の開近傍を $U,V$ とすると、$\pi^{-1}(U),\pi^{-1}(V)$ はそれぞれ $-3,3$ の近傍である。十分小さい $\varepsilon>0$ について $-3-\varepsilon\in\pi^{-1}(U)$, $3+\varepsilon\in\pi^{-1}(V)$ となる。一方

$$h(-3-\varepsilon)=2+\varepsilon=h(3+\varepsilon)$$

だから $U\cap V\ne\varnothing$。従って $B$ は Hausdorff でない。

(5) コンパクト集合 $K=[-3,-1]\cup[1,4]\subset A$ をとると

$$h(K)=[-2,0]\cup[0,3]=[-2,3]=h(A).$$

従って $\pi(K)=B$。商写像 $\pi$ は連続なので、$B$ はコンパクト集合の連続像としてコンパクトである。