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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 A2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

(1) 2変数関数 (x+y)e−3x2−2y2(x+y)e^{-3x^2-2y^2} の R2\mathbb R^2 における極値を求めよ。

(2) 定積分

I=∫0∞x2e−x2 dxI=\int_0^\infty x^2e^{-x^2}\,dx

の値を求めよ。

(3) 2重積分

∫0∞∫0∞(x+y)e−3x2−2y2 dx dy\int_0^\infty\int_0^\infty(x+y)e^{-3x^2-2y^2}\,dx\,dy

の値を求めよ。

题目描述​

(1) 求二元函数 (x+y)e−3x2−2y2(x+y)e^{-3x^2-2y^2} 在 R2\mathbb R^2 上的极值。

(2) 计算定积分

I=∫0∞x2e−x2 dx.I=\int_0^\infty x^2e^{-x^2}\,dx.

(3) 计算二重积分

∫0∞∫0∞(x+y)e−3x2−2y2 dx dy.\int_0^\infty\int_0^\infty(x+y)e^{-3x^2-2y^2}\,dx\,dy.

Kai​

(1) s=x+ys=x+y とおく。臨界点の条件は

1−6xs=0,1−4ys=0.1-6xs=0,\qquad1-4ys=0.

従って y=3x/2y=3x/2、15x2=115x^2=1 であり、候補は

(x,y)=±(115,3215).(x,y)=\pm\left(\frac1{\sqrt{15}},\frac3{2\sqrt{15}}\right).

Cauchy–Schwarz の不等式により、q=3x2+2y2q=3x^2+2y^2 に対して ∣x+y∣≤5q/6|x+y|\le\sqrt{5q/6}。qe−q\sqrt q e^{-q} は q=1/2q=1/2 で最大となり、上記の2点はこの上界を達成する。よって正符号の点で極大値（最大値）5/(12e)\sqrt{5/(12e)}、負符号の点で極小値（最小値）−5/(12e)-\sqrt{5/(12e)} をとり、他に極値はない。

(2) 部分積分と Gaussian 積分から

I=[−x2e−x2]0∞+12∫0∞e−x2 dx=π4.\begin{gathered} I=\left[-\frac x2e^{-x^2}\right]_0^\infty+\frac12\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\\ =\boxed{\frac{\sqrt\pi}{4}}. \end{gathered}

(3) 被積分関数は非負なので Tonelli の定理で分離できる。

∬(0,∞)2(x+y)e−3x2−2y2 dx dy=16π22+π2314=2π+3π24.\begin{aligned} \iint_{(0,\infty)^2}(x+y)e^{-3x^2-2y^2}\,dx\,dy &=\frac16\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt3}\frac14\\ &=\boxed{\frac{\sqrt{2\pi}+\sqrt{3\pi}}{24}}. \end{aligned}

Reference​

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