跳到主要内容

千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 A2

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

(1) f(x,y)=(x+y)e−3x2−2y2f(x,y)=(x+y)e^{-3x^2-2y^2} の R2\mathbb R^2 における極値を求めよ。(2) I=∫0∞x2e−x2 dxI=\int_0^\infty x^2e^{-x^2}\,dx を求めよ。(3) ∫0∞∫0∞(x+y)e−3x2−2y2 dx dy\int_0^\infty\int_0^\infty(x+y)e^{-3x^2-2y^2}\,dx\,dy を求めよ。

题目描述​

(1) 求给定二元函数在全平面上的极值。(2) 计算高斯型广义积分。(3) 计算第一象限上的二重积分。

Kai​

(1) s=x+ys=x+y とおく。臨界点の条件は

1−6xs=0,1−4ys=0.1-6xs=0,\qquad1-4ys=0.

従って y=3x/2y=3x/2、15x2=115x^2=1 であり、候補は

(x,y)=±(115,3215).(x,y)=\pm\left(\frac1{\sqrt{15}},\frac3{2\sqrt{15}}\right).

Cauchy–Schwarz の不等式により、q=3x2+2y2q=3x^2+2y^2 に対して ∣x+y∣≤5q/6|x+y|\le\sqrt{5q/6}。qe−q\sqrt q e^{-q} は q=1/2q=1/2 で最大となり、上記の2点はこの上界を達成する。よって正符号の点で極大値（最大値）5/(12e)\sqrt{5/(12e)}、負符号の点で極小値（最小値）−5/(12e)-\sqrt{5/(12e)} をとり、他に極値はない。

(2) 部分積分と Gaussian 積分から

I=[−x2e−x2]0∞+12∫0∞e−x2 dx=π4.I=\left[-\frac x2e^{-x^2}\right]_0^\infty+\frac12\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx =\boxed{\frac{\sqrt\pi}{4}}.

(3) 被積分関数は非負なので Tonelli の定理で分離できる。

∬(0,∞)2(x+y)e−3x2−2y2 dx dy=16π22+π2314=2π+3π24.\begin{aligned} \iint_{(0,\infty)^2}(x+y)e^{-3x^2-2y^2}\,dx\,dy &=\frac16\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt3}\frac14\\ &=\boxed{\frac{\sqrt{2\pi}+\sqrt{3\pi}}{24}}. \end{aligned}
本页目录