千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2019年8月実施専門 A1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

正整数 $n$ に対して

A=\begin{pmatrix}4&9\\-1&-2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}A&A^n\\A^n&A\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}I_2&0\\I_2&I_2\end{pmatrix}

とする。(1) $A$ の固有値と固有空間の次元を求めよ。(2) Jordan 標準形 $J$ と $P^{-1}AP=J$ となる $P$ を一つ求めよ。(3) $Q^{-1}BQ$ を求めよ。(4) $B$ の固有値と固有空間の次元を求めよ。(5) $B$ の Jordan 標準形を求めよ。

对上列矩阵及正整数 $n$ ：(1) 求 $A$ 的特征值和特征空间维数。(2) 给出 Jordan 标准形和变换矩阵。(3) 计算指定共轭。(4) 求 $B$ 的特征值和特征空间维数。(5) 求 $B$ 的 Jordan 标准形。

(1) $\det(tI-A)=(t-1)^2$ であり、 $\ker(A-I)=\mathbb R(3,-1)^T$ 。従って固有値は $1$ のみ、固有空間は1次元。

(2)

\boxed{P=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.

実際、 $P$ の列を $p_1,p_2$ とすると $(A-I)p_1=0,(A-I)p_2=p_1$ 。

(3) ブロック積を計算して

\boxed{Q^{-1}BQ=\begin{pmatrix}A+A^n&A^n\\0&A-A^n\end{pmatrix}}.

(4)(5) $N=A-I$ とおけば $N^2=0,N\ne0$ なので $A^n=I+nN$ 。また $\mathbb R^4$ は $\{(v,v)\}$ と $\{(v,-v)\}$ の直和であり、 $B$ の各制限は $A+A^n$ と $A-A^n$ である。従って

B\sim(2I+(n+1)N)\oplus((1-n)N).

固有値は $2,0$ （代数的重複度はともに2）。固有値 $2$ の固有空間は常に1次元、固有値 $0$ の固有空間は $n=1$ で2次元、 $n\ge2$ で1次元である。従って

\boxed{G=\begin{cases}J_2(2)\oplus J_1(0)\oplus J_1(0)&n=1,\\ J_2(2)\oplus J_2(0)&n\ge2.\end{cases}}