千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2019年8月実施 専門 A0

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• Binary-Relations
• Composition-of-Injective-and-Surjective-Maps

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

空でない集合 $X$ に対し、自己写像全体を $M(X)$、単射全体を $I(X)$、全単射全体を $B(X)$ とする。$f,g\in M(X)$ に対して

$$f\sim_Bg\iff\exists p\in B(X):p\circ f=g,$$

と定め、$\sim_I,\sim_M$ もそれぞれ $p\in I(X),p\in M(X)$ として同様に定める。

(1) $\sim_B$ が同値関係であることを示せ。(2) $X$ が有限の場合と $X=\mathbb N$ の場合に、$\sim_I$ が同値関係か否か理由付きで答えよ。(3) $f\sim_Ig$ ならば任意の $x,y$ について $f(x)=f(y)\iff g(x)=g(y)$ を示せ。(4) $f\sim_Mg$ と、任意の $x,y$ について $f(x)=f(y)\Rightarrow g(x)=g(y)$ となることは同値であることを示せ。

题目描述

在非空集合 $X$ 的自映射集上，根据是否可以在左侧复合双射、单射、任意映射将 $f$ 变成 $g$，分别定义三个关系。(1) 证明双射关系为等价关系。(2) 判断有限集和自然数集上单射关系是否为等价关系。(3) 证明单射关系保持纤维相等性。(4) 证明任意映射关系等价于 $f$ 的纤维包含于 $g$ 的纤维。

Kai

(1) 恒等写像、全単射の逆写像、全単射の合成を用いれば、それぞれ反射律、対称律、推移律が成立する。

(2) $X$ が有限なら $I(X)=B(X)$ なので同値関係である。$X=\mathbb N$ では $f(n)=n,g(n)=n+1$ とすると $f\sim_Ig$。しかし $q\circ g=f$ なら $q(n+1)=n$ であり、$q(2),q(3),\ldots$ だけで全自然数を使い尽くすため $q(1)$ を単射性を保って定められない。従って対称律が成立せず、同値関係でない。

(3) $g=p\circ f$ と $p$ の単射性から

$$g(x)=g(y)\iff p(f(x))=p(f(y))\iff f(x)=f(y).$$

(4) $g=p\circ f$ ならば主張の含意は明らか。逆にその含意を仮定する。$f(X)$ 上で $p(f(x))=g(x)$ と定めると、仮定により矛盾がない。$a\in X$ を一つ固定し、$X\setminus f(X)$ 上では $p=a$ と定めれば、自己写像 $p$ が得られ $p\circ f=g$。