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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B9

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

二項分布 B(n,p)B(n,p) から独立に大きさ mm の標本 X1,…,XmX_1,\ldots,X_m をとり、X‾=m−1∑Xk\overline X=m^{-1}\sum X_k とする。nn は既知である。

(1) X‾/n\overline X/n が pp の不偏推定量であることを示せ。(2) 全標本の Fisher 情報量を求めよ。(3) Cramér–Rao の不等式を用いて有効性を示せ。(4) mm が十分大きいとき、中心極限定理による信頼度 1−α1-\alpha の信頼区間を求めよ。

题目描述​

已知二项分布的试验次数 nn，抽取 mm 个独立样本。(1) 证明样本均值除以 nn 是 pp 的无偏估计。(2) 求全部样本的 Fisher 信息。(3) 利用 Cramér–Rao 下界证明有效性。(4) 用中心极限定理构造大样本置信区间。

Kai​

0<p<10<p<1 とし、p^=X‾/n\widehat p=\overline X/n, S=∑XiS=\sum X_i とおく。

(1) E[p^]=mnp/(mn)=pE[\widehat p]=mnp/(mn)=p。

(2) 定数項を除いた対数尤度は ℓ(p)=Slog⁡p+(mn−S)log⁡(1−p)\ell(p)=S\log p+(mn-S)\log(1-p)。従って

Im(p)=−E[ℓ′′(p)]=mnpp2+mn(1−p)(1−p)2=mnp(1−p).I_m(p)=-E[\ell''(p)] =\frac{mnp}{p^2}+\frac{mn(1-p)}{(1-p)^2} =\boxed{\frac{mn}{p(1-p)}}.

(3) 独立性から

Var⁡(p^)=mnp(1−p)m2n2=p(1−p)mn=Im(p)−1.\operatorname{Var}(\widehat p)=\frac{mnp(1-p)}{m^2n^2} =\frac{p(1-p)}{mn}=I_m(p)^{-1}.

不偏推定量の Cramér–Rao 下限を達成するので有効である。

(4) 中心極限定理と Slutsky の定理により

p^−pp^(1−p^)/(mn) →d N(0,1).\frac{\widehat p-p}{\sqrt{\widehat p(1-\widehat p)/(mn)}}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1).

z1−α/2=Φ−1(1−α/2)z_{1-\alpha/2}=\Phi^{-1}(1-\alpha/2) とすれば、漸近的信頼区間は

[p^−z1−α/2p^(1−p^)mn,p^+z1−α/2p^(1−p^)mn]∩[0,1].\boxed{\left[\widehat p-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{mn}}, \widehat p+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat p(1-\widehat p)}{mn}}\right]\cap[0,1]}.
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