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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B8

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

実確率変数 XX に対し、P(X>M)≤1/2P(X>M)\le1/2 かつ P(X<M)≤1/2P(X<M)\le1/2 を満たす実数 M=M(X)M=M(X) を考える。

(1) そのような MM が存在することを示せ。(2) E[X],E[X2]E[X],E[X^2] が有限ならば M(X)≤E[X]+2Var⁡(X)M(X)\le E[X]+\sqrt{2\operatorname{Var}(X)} を示せ。(3) 0≤λ≤10\le\lambda\le1 とし、X1X_1 の密度を

p(x)={Ce−λx0<x<1/3,Ce(1−λ)(x−1)2/3<x<1,0その他p(x)=\begin{cases} Ce^{-\lambda x}&0<x<1/3,\\ Ce^{(1-\lambda)(x-1)}&2/3<x<1,\\ 0&\text{その他} \end{cases}

とする。CC を求め、中位数全体が一点でない場合の λ\lambda と、その中位数の集合を求めよ。

题目描述​

中位数定义为两侧严格尾概率都不超过 1/21/2 的实数。(1) 证明存在性。(2) 有限二阶矩时证明给定中位数上界。(3) 对在两个区间上具有上述指数型密度的变量求归一化常数，并求中位数不唯一的参数及全部中位数。

Kai​

(1) 分布関数を FF とし m=inf⁡{t:F(t)≥1/2}m=\inf\{t:F(t)\ge1/2\} とおく。F(−∞)=0,F(+∞)=1F(-\infty)=0,F(+\infty)=1 より mm は有限である。右連続性から F(m)≥1/2F(m)\ge1/2、また F(m−)≤1/2F(m-)\le1/2。従って P(X>m)=1−F(m)≤1/2P(X>m)=1-F(m)\le1/2, P(X<m)=F(m−)≤1/2P(X<m)=F(m-)\le1/2。

(2) μ=E[X]\mu=E[X] とする。M≤μM\le\mu なら明らか。M>μM>\mu なら P(X≥M)≥1/2P(X\ge M)\ge1/2 なので

Var⁡(X)=E[(X−μ)2]≥E[(X−μ)21{X≥M}]≥12(M−μ)2.\operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2] \ge E[(X-\mu)^2\mathbf1_{\{X\ge M\}}] \ge\frac12(M-\mu)^2.

従って求める不等式が成り立つ。

(3) A(t)=∫01/3e−tu duA(t)=\int_0^{1/3}e^{-tu}\,du とおくと

A(t)={(1−e−t/3)/tt>0,1/3t=0,C=1A(λ)+A(1−λ).A(t)=\begin{cases}(1-e^{-t/3})/t&t>0,\\1/3&t=0,\end{cases} \qquad \boxed{C=\frac1{A(\lambda)+A(1-\lambda)}}.

分布関数は二つの支持区間上で狭義増加し、その間だけ一定である。従って中位数が複数になるのは、この一定値が 1/21/2、すなわち A(λ)=A(1−λ)A(\lambda)=A(1-\lambda) のときに限る。

A′(t)=−∫01/3ue−tu du<0A'(t)=-\int_0^{1/3}ue^{-tu}\,du<0 より AA は狭義減少である。従って

λ=12,{M(X1)}=[13,23].\boxed{\lambda=\frac12,\qquad\{M(X_1)\}=\left[\frac13,\frac23\right]}.

このとき C=1/[4(1−e−1/6)]C=1/[4(1-e^{-1/6})]。

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