千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B8

标签：

• Expectation-and-Variance
• Markov-and-Chebyshev-Inequalities

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

実確率変数 $X$ に対し、$P(X>M)\le1/2$ かつ $P(X<M)\le1/2$ を満たす実数 $M=M(X)$ を考える。

(1) そのような $M$ が存在することを示せ。(2) $E[X],E[X^2]$ が有限ならば $M(X)\le E[X]+\sqrt{2\operatorname{Var}(X)}$ を示せ。(3) $0\le\lambda\le1$ とし、$X_1$ の密度を

$$p(x)=\begin{cases} Ce^{-\lambda x}&0<x<1/3,\\ Ce^{(1-\lambda)(x-1)}&2/3<x<1,\\ 0&\text{その他} \end{cases}$$

とする。$C$ を求め、中位数全体が一点でない場合の $\lambda$ と、その中位数の集合を求めよ。

题目描述

中位数定义为两侧严格尾概率都不超过 $1/2$ 的实数。(1) 证明存在性。(2) 有限二阶矩时证明给定中位数上界。(3) 对在两个区间上具有上述指数型密度的变量求归一化常数，并求中位数不唯一的参数及全部中位数。

Kai

(1) 分布関数を $F$ とし $m=\inf\{t:F(t)\ge1/2\}$ とおく。$F(-\infty)=0,F(+\infty)=1$ より $m$ は有限である。右連続性から $F(m)\ge1/2$、また $F(m-)\le1/2$。従って $P(X>m)=1-F(m)\le1/2$, $P(X<m)=F(m-)\le1/2$。

(2) $\mu=E[X]$ とする。$M\le\mu$ なら明らか。$M>\mu$ なら $P(X\ge M)\ge1/2$ なので

$$\operatorname{Var}(X)=E[(X-\mu)^2] \ge E[(X-\mu)^2\mathbf1_{\{X\ge M\}}] \ge\frac12(M-\mu)^2.$$

従って求める不等式が成り立つ。

(3) $A(t)=\int_0^{1/3}e^{-tu}\,du$ とおくと

$$A(t)=\begin{cases}(1-e^{-t/3})/t&t>0,\\1/3&t=0,\end{cases} \qquad \boxed{C=\frac1{A(\lambda)+A(1-\lambda)}}.$$

分布関数は二つの支持区間上で狭義増加し、その間だけ一定である。従って中位数が複数になるのは、この一定値が $1/2$、すなわち $A(\lambda)=A(1-\lambda)$ のときに限る。

$A'(t)=-\int_0^{1/3}ue^{-tu}\,du<0$ より $A$ は狭義減少である。従って

$$\boxed{\lambda=\frac12,\qquad\{M(X_1)\}=\left[\frac13,\frac23\right]}.$$

このとき $C=1/[4(1-e^{-1/6})]$。