千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B7

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• 内积与正交性
• 有界线性算子

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

実内積空間 $V$ で $\|x\|=\sqrt{(x,x)}$ とする。

(1) Cauchy–Schwarz の不等式 $|(x,y)|\le\|x\|\|y\|$ を示せ。(2) 線形写像 $f:V\to\mathbb R$ が $\|x\|=1\Rightarrow|f(x)|\le M$ を満たすとする。任意の正規直交系 $x_1,\ldots,x_N$ に対して $\sum_{i=1}^N|f(x_i)|^2\le M^2$ を示せ。

题目描述

在实内积空间中：(1) 由内积公理证明 Cauchy–Schwarz 不等式。(2) 若线性泛函在单位球面上有界于 $M$，证明任意有限正交归一系上函数值平方和不超过 $M^2$。

Kai

(1) $y=0$ の場合は明らか。$y\ne0$ ならば

$$0\le\left\|x-\frac{(x,y)}{\|y\|^2}y\right\|^2 =\|x\|^2-\frac{(x,y)^2}{\|y\|^2}.$$

整理して平方根をとればよい。

(2) $v=\sum_{i=1}^Nf(x_i)x_i$, $A=\sum_{i=1}^Nf(x_i)^2$ とおく。正規直交性と線形性から $\|v\|^2=A$, $f(v)=A$。$A=0$ ならば明らかであり、$A>0$ ならば

$$\sqrt A=\left|f\left(\frac{v}{\sqrt A}\right)\right|\le M.$$

両辺を二乗して結論を得る。