千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B6

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

(1) $y'+xy=0$ を解け。(2) $y'+xy=x^3$ を解け。(3) 次の初期値問題を解け。

$$\begin{pmatrix}y'\\z'\\w'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-x&0&0\\0&0&1\\1&3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\\z\\w\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x^3\\x\\-x^2+3\end{pmatrix},\qquad (y(0),z(0),w(0))=\left(-2,-\frac19,-\frac13\right).$$

题目描述

(1)(2) 解给定一阶线性微分方程。(3) 解上列三元线性系统，满足初值 $(-2,-1/9,-1/3)$。

Kai

(1) 積分因子 $e^{x^2/2}$ を用いると $(ye^{x^2/2})'=0$。従って $y=Ce^{-x^2/2}$。

(2) $(ye^{x^2/2})'=x^3e^{x^2/2}$ と、$((x^2-2)e^{x^2/2})'=x^3e^{x^2/2}$ より

$$y=x^2-2+Ce^{-x^2/2}.$$

(3) 初期条件から $y=x^2-2$。残る式は

$$z'=w+x,\qquad w'=3z+2w+1.$$

後式を微分して前式を代入すると $w''-2w'-3w=3x$。初期値は $w(0)=-1/3,w'(0)=0$ である。特性根 $-1,3$ と特殊解 $-x+2/3$ から

$$w(x)=-e^{-x}-x+\frac23.$$

さらに $z=(w'-2w-1)/3$ により

$$\boxed{y=x^2-2,\qquad z=e^{-x}+\frac{2x}{3}-\frac{10}{9},\qquad w=-e^{-x}-x+\frac23}.$$