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千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B6

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

(1) y′+xy=0y'+xy=0 を解け。(2) y′+xy=x3y'+xy=x^3 を解け。(3) 次の初期値問題を解け。

(y′z′w′)=(−x00001132)(yzw)+(x3x−x2+3),(y(0),z(0),w(0))=(−2,−19,−13).\begin{pmatrix}y'\\z'\\w'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-x&0&0\\0&0&1\\1&3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\\z\\w\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x^3\\x\\-x^2+3\end{pmatrix},\qquad (y(0),z(0),w(0))=\left(-2,-\frac19,-\frac13\right).

题目描述​

(1)(2) 解给定一阶线性微分方程。(3) 解上列三元线性系统，满足初值 (−2,−1/9,−1/3)(-2,-1/9,-1/3)。

Kai​

(1) 積分因子 ex2/2e^{x^2/2} を用いると (yex2/2)′=0(ye^{x^2/2})'=0。従って y=Ce−x2/2y=Ce^{-x^2/2}。

(2) (yex2/2)′=x3ex2/2(ye^{x^2/2})'=x^3e^{x^2/2} と、((x2−2)ex2/2)′=x3ex2/2((x^2-2)e^{x^2/2})'=x^3e^{x^2/2} より

y=x2−2+Ce−x2/2.y=x^2-2+Ce^{-x^2/2}.

(3) 初期条件から y=x2−2y=x^2-2。残る式は

z′=w+x,w′=3z+2w+1.z'=w+x,\qquad w'=3z+2w+1.

後式を微分して前式を代入すると w′′−2w′−3w=3xw''-2w'-3w=3x。初期値は w(0)=−1/3,w′(0)=0w(0)=-1/3,w'(0)=0 である。特性根 −1,3-1,3 と特殊解 −x+2/3-x+2/3 から

w(x)=−e−x−x+23.w(x)=-e^{-x}-x+\frac23.

さらに z=(w′−2w−1)/3z=(w'-2w-1)/3 により

y=x2−2,z=e−x+2x3−109,w=−e−x−x+23.\boxed{y=x^2-2,\qquad z=e^{-x}+\frac{2x}{3}-\frac{10}{9},\qquad w=-e^{-x}-x+\frac23}.
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