千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B5

标签：

• 留数定理
• 保角映射

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$R>0$ に対して

$$C_R=\{z\in\mathbb C\setminus\{0\}:\operatorname{Re}(1/z)=1/R\}$$

と定める。(1) 概形を図示せよ。(2) 自然数 $n$ に対して、反時計回りの広義積分 $\int_{C_R}z^{n-1}e^{1/z}\,dz$ を求めよ。

题目描述

给定满足 $\operatorname{Re}(1/z)=1/R$ 的非零复数轨迹。(1) 画出概形。(2) 求沿轨迹逆时针方向的广义积分 $\int z^{n-1}e^{1/z}dz$，其中 $n$ 为正整数。

Kai

(1) $z=x+iy$ とおくと $x/(x^2+y^2)=1/R$ なので

$$\left(x-\frac R2\right)^2+y^2=\left(\frac R2\right)^2,\qquad z\ne0.$$

従って中心 $R/2$、半径 $R/2$ の円周から原点を除いた曲線である。

(2) $a=1/R$、$w=1/z$ とおく。$C_R$ の反時計回りの向きは直線 $\operatorname{Re}w=a$ の下向きに対応し、$dz=-w^{-2}dw$ だから

$$\int_{C_R}z^{n-1}e^{1/z}\,dz =\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}\frac{e^w}{w^{n+1}}\,dw.$$

$n\ge1$ では右辺は絶対収束する。上向きの線分 $[a-iT,a+iT]$ を、中心 $a$、半径 $T$ の左半円弧で閉じる。$T>a$ なら原点を正向きに囲み、半円弧上では $|e^w|\le e^a$, $|w|\ge T-a$ なので、その積分は絶対値が

$$\frac{\pi T e^a}{(T-a)^{n+1}}\longrightarrow0$$

である。留数は $\operatorname{Res}_{w=0}(e^w/w^{n+1})=1/n!$。従って

$$\boxed{\int_{C_R}z^{n-1}e^{1/z}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}}.$$