千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B4

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• 单纯同调与胞腔同调

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

互いに交わらない単位閉円板 $D,E$ と単位円周 $C$ をとる。複素平面での表示を用い、$f_n:\partial D\to C$, $g_n:\partial D\to E$ をともに $z\mapsto z^n$ で定める。貼り合わせ空間を $X_n=D\cup_{f_n}C$, $Y_n=D\cup_{g_n}E$ とする。

(1) $n=1$、(2) $n=0$、(3) $n=2$ の各場合について、$H_q(X_n;\mathbb Z),H_q(Y_n;\mathbb Z)$（$q=0,1,2$）を求めよ。

题目描述

将一个闭圆盘的边界通过 $z\mapsto z^n$ 粘到另一个圆周或闭圆盘的边界，得到 $X_n$ 和 $Y_n$。(1)(2)(3) 分别求 $n=1,0,2$ 时两空间的零、一、二阶整数同调。

Kai

$X_n$ は0胞体、1胞体、2胞体が各一つで、胞体境界写像 $\partial_2$ は整数倍 $n$、$\partial_1=0$。従って

$$H_0(X_n)=\mathbb Z,\quad H_1(X_n)=\mathbb Z/n\mathbb Z,\quad H_2(X_n)=\ker(\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z).$$

$Y_n$ は円周の1胞体に、$E$ と $D$ の二つの2胞体をそれぞれ次数 $1,n$ で付ける。従って $\partial_2:\mathbb Z^2\to\mathbb Z$ は $(u,v)\mapsto u+nv$ であり、全射で核は $\mathbb Z$。

以上より、各行を $(H_0,H_1,H_2)$ の順に書くと

$n$	$X_n$	$Y_n$
$1$	$(\mathbb Z,0,0)$	$(\mathbb Z,0,\mathbb Z)$
$0$	$(\mathbb Z,\mathbb Z,\mathbb Z)$	$(\mathbb Z,0,\mathbb Z)$
$2$	$(\mathbb Z,\mathbb Z/2\mathbb Z,0)$	$(\mathbb Z,0,\mathbb Z)$