千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2018年8月実施専門 B3

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$a\in\mathbb R$ に対して $f_a:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ を $f_a(x,y)=(x,y^3+xy+ay)$ と定める。

(1) $df_0$ が全射でなくなる点全体 $C_0$ を求め、滑らかな部分多様体であることを示せ。(2) $f_a(C_0)$ が滑らかな部分多様体となる $a$ の条件を求めよ。

给定映射 $f_a(x,y)=(x,y^3+xy+ay)$ 。(1) 求 $f_0$ 的微分不满射的点集，并证明是光滑子流形。(2) 求该点集在 $f_a$ 下的像成为光滑子流形的参数条件。

(1)

Df_0(x,y)=\begin{pmatrix}1&0\\y&3y^2+x\end{pmatrix},\qquad C_0=\{(-3t^2,t):t\in\mathbb R\}.

これは $x=-3y^2$ のグラフであり、滑らかな1次元部分多様体である。

(2) 像を $\gamma_a(t)=(-3t^2,at-2t^3)$ と表示する。

$a<0$ ならば第2成分の導関数 $a-6t^2$ は常に負で、第2成分は $\mathbb R$ への全単射である。その逆関数は滑らかなので、像は第2座標についての滑らかなグラフとなる。

$a=0$ ならば原点に尖点をもつ。原点に近づく割線の極限方向から、滑らかな曲線ならその接線は $x$ 軸でなければならない。従って $x$ 座標は原点近傍の局所座標となるはずだが、像では $x\le0$ であり不可能である。

$a>0$ ならば $t_\pm=\pm\sqrt{a/2}$ において

\gamma_a(t_+)=\gamma_a(t_-)=(-3a/2,0),\qquad \gamma_a'(t_\pm)=(-6t_\pm,-2a).

この2本の接ベクトルは平行でなく、交点近傍は交差する二つの枝をもつので1次元部分多様体ではない。したがって条件は $\boxed{a<0}$ 。