千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B2

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

体 $K$ に対し $S=K[x_1,x_2,x_3,x_4]$ とし、

$$y=x_1x_4+x_2x_3,\quad z=x_3x_4,\quad R=K[y,x_2,x_3,x_4],\quad T=K[y,x_3,x_4]$$

とおく。$R_z,T_z$ は $1,z,z^2,\ldots$ による局所化とする。$a\in K$ に対し $\sigma_a$ は $K,x_3,x_4$ を固定し、$\sigma_a(x_1)=x_1-ax_3$, $\sigma_a(x_2)=x_2+ax_4$ とする自己同型である。

(1) $\sigma_a(y)$ を求めよ。(2) $S\subset R_z$ を示せ。(3) $K$ が無限体ならば、すべての $a$ について $\sigma_a(f)=f$ となる $f\in S$ は $T_z$ に属することを示せ。

题目描述

在四元多项式环中按上式定义 $y,z,R,T$ 及关于 $z$ 的局部化，并给定平移型自同构 $\sigma_a$。(1) 求 $y$ 的像。(2) 证明 $S\subset R_z$。(3) 若域无限，证明在所有 $\sigma_a$ 下不变的多项式属于 $T_z$。

Kai

(1)

$$\sigma_a(y)=(x_1-ax_3)x_4+(x_2+ax_4)x_3=y.$$

(2) $x_4^{-1}=x_3/z\in R_z$ なので

$$x_1=\frac{y-x_2x_3}{x_4}\in R_z.$$

他の変数も $R_z$ に属し、結論を得る。

(3) $y,x_2,x_3,x_4$ は代数的に独立である。実際、$y$ に関する非零多項式へ $y=x_1x_4+x_2x_3$ を代入すると、$x_1$ の最高次係数は零にならない。従って

$$R_z=T_z[x_2].$$

$x_4$ は $T_z$ の単元なので $t=x_2/x_4$ とおけば $R_z=T_z[t]$、かつ $\sigma_a(t)=t+a$。$f=P(t)$ と書くと仮定から $P(t+a)=P(t)$ がすべての $a\in K$ に対して成立する。

もし $\deg P=d>0$、最高次係数が $b_d\ne0$ ならば、$P(t+A)-P(t)$ は $T_z[t][A]$ において $A$ の次数 $d$、最高次係数 $b_d$ の非零多項式である。しかし無限個の $A=a\in K$ が根となることは、整域の分数体上の根の個数定理に反する。従って $d=0$、すなわち $f\in T_z$。