千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 B1

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• 群同态与商群

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

素数 $p$ を固定し、群 $G$ の $p$ 乗元全体が生成する部分群を $G'=\langle g^p:g\in G\rangle$ とする。

(1) $G'\trianglelefteq G$ を示せ。(2) $G$ が有限で $H$ が Sylow $p$ 部分群のとき、自然な準同型 $f:H/H'\to G/G'$, $hH'\mapsto hG'$ が全射であることを示せ。(3) さらに $G$ が可換ならば $f$ は同型であることを示せ。

题目描述

固定素数 $p$，用所有 $p$ 次幂生成的子群记为 $G'$。(1) 证明正规性。(2) 对有限群及其 Sylow $p$ 子群 $H$，证明给定商群同态为满射。(3) 群可交换时证明它为同构。

Kai

(1) 任意の $a,g\in G$ に対して $ag^pa^{-1}=(aga^{-1})^p\in G'$。従って生成元の共役が $G'$ に属し、$G'$ は正規である。

(2) $H'\subset G'$ なので $f$ は矛盾なく定義される。$Q=G/G'$ のすべての元は $p$ 乗すると単位元になる。Cauchy の定理より $|Q|$ の素因数は $p$ だけであり、$Q$ は $p$ 群である。

$HG'$ は部分群であり、指数 $[G:HG']$ は $[G:H]$ の約数だから $p$ と互いに素。一方、これは $[Q:HG'/G']$ に等しく $p$ の冪でもある。よって指数は $1$、すなわち $HG'=G$。従って $f$ は全射である。

(3) 有限可換群は $G=H\times K$（$|K|$ は $p$ と互いに素）と分解できる。$K$ 上で $k\mapsto k^p$ は全単射であるから

$$G'=H'\times K,\qquad H\cap G'=H'.$$

ゆえに $\ker f=(H\cap G')/H'=1$。(2) と合わせて同型となる。