千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2018年8月実施専門 A4

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

独立な $X_1,X_2$ が、それぞれ $P(X_i=k)=p_i(1-p_i)^{k-1}$ （ $k\ge1$ ）の幾何分布に従うとする。 $0<p_i<1,p_1\ne p_2$ とする。

(1) $Y=X_1+X_2$ の分布を求めよ。(2) $E[Y]$ を求めよ。(3) $Z=\min(X_1,X_2)$ の分布を求めよ。(4) $Z$ のモーメント母関数を求めよ。

两个独立随机变量服从支撑为正整数的几何分布，参数不同。(1) 求其和的分布。(2) 求和的期望。(3) 求最小值的分布。(4) 求最小值的矩母函数。

$q_i=1-p_i$ とおく。

(1) $k\ge2$ では独立性から

P(Y=k)=p_1p_2\sum_{j=1}^{k-1}q_1^{j-1}q_2^{k-j-1} =p_1p_2\frac{q_1^{k-1}-q_2^{k-1}}{q_1-q_2}.

その他の整数では $0$ 。

(2) 幾何級数の微分により $E[X_i]=1/p_i$ 。従って

E[Y]=\frac1{p_1}+\frac1{p_2}.

(3) $P(Z\ge k)=q_1^{k-1}q_2^{k-1}$ なので

P(Z=k)=(1-q_1q_2)(q_1q_2)^{k-1}\quad(k\ge1).

(4) $q=q_1q_2$ とおくと

\boxed{M_Z(t)=\frac{(1-q)e^t}{1-qe^t}\quad(t<-\log q)}.

$t\ge-\log q$ では級数は発散し $M_Z(t)=+\infty$ 。