千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 A3

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• Compactness-and-Connectedness
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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$S=\mathbb R$ とし、$\mathcal U$ を空集合および補集合が有限の集合全体、$\mathcal V$ を空集合および補集合が高々可算の集合全体とする。

(1) 各々が位相であることを示せ。(2) $(S,\mathcal U),(S,\mathcal V)$ がコンパクトか否か証明付きで答えよ。(3) 恒等写像 $f:(S,\mathcal U)\to(S,\mathcal V)$ と $g:(S,\mathcal V)\to(S,\mathcal U)$ の連続性を調べよ。

题目描述

在实数集上分别定义补有限拓扑候选族 $\mathcal U$ 和补可数拓扑候选族 $\mathcal V$，都包含空集。(1) 证明它们确为拓扑。(2) 判断两空间是否紧致并证明。(3) 判断两个方向的恒等映射是否连续。

Kai

(1) 両族は $\varnothing,S$ を含む。非空な開集合を少なくとも一つ含む任意の合併の補集合は、その一つの補集合の部分集合なので有限（それぞれ高々可算）である。有限個の非空開集合の共通部分の補集合は有限（高々可算）集合の有限和なので同じ性質をもつ。空集合を含む場合も明らかであり、位相の公理が成立する。

(2) $(S,\mathcal U)$ はコンパクト。任意の開被覆から非空な一つ $U$ を選ぶと、$S\setminus U$ は有限である。残りの各点を覆う集合を一つずつ加えれば有限部分被覆になる。

$(S,\mathcal V)$ はコンパクトでない。$V_n=(\mathbb R\setminus\mathbb Z)\cup\{n\}$（$n\in\mathbb Z$）は開被覆であるが、有限個では整数を有限個しか覆わない。

(3) $\mathcal U\subset\mathcal V$ より $g$ は連続。一方 $\mathbb R\setminus\mathbb Z\in\mathcal V\setminus\mathcal U$ であり、その $f$ による逆像は自身なので $f$ は連続でない。