千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2018年8月実施専門 A2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

(1) $f(x)=x^3-x^2+x+1$ の $x=0$ の近傍での逆関数を $g$ とする。 $g'(1),g''(1),g^{(3)}(1)$ を求めよ。

(2) $F(x)=\sin^3x-\sin^2x+\sin x+1$ の $x=0$ の近傍での逆関数を $G$ とする。 $G'(1),G''(1),G^{(3)}(1)$ を求めよ。

(1) 求多项式 $f$ 在原点附近的局部反函数于 $1$ 处的一至三阶导数。(2) 对 $F=f\circ\sin$ 求相同的反函数导数。

(1) $f(0)=1,f'(0)=1$ なので局所逆関数は存在する。 $g(f(x))=x$ を3回まで微分すると

g'(f)f'=1,\qquad g''(f)(f')^2+g'(f)f''=0,

g^{(3)}(f)(f')^3+3g''(f)f'f''+g'(f)f^{(3)}=0.

$f''(0)=-2,f^{(3)}(0)=6$ を代入して

\boxed{g'(1)=1,\quad g''(1)=2,\quad g^{(3)}(1)=6}.

(2) $F=f\circ\sin$ なので $G=\arcsin\circ g$ 。 $g(1)=0$ および

(\arcsin)'(0)=1,\quad(\arcsin)''(0)=0,\quad(\arcsin)^{(3)}(0)=1

から、合成関数の微分により

\boxed{G'(1)=1,\quad G''(1)=2,\quad G^{(3)}(1)=1+6=7}.