跳到主要内容

千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 A1

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

線形変換 f:Rn→Rnf:\mathbb R^n\to\mathbb R^n と部分空間 V,WV,W が f(V)⊂W,f(W)⊂Vf(V)\subset W,f(W)\subset V を満たすとする。次を証明せよ。

(1) dim⁡V≠dim⁡W\dim V\ne\dim W ならば ff は単射でない。(2) V+W=Rn,f(V)=W,f(W)=VV+W=\mathbb R^n,f(V)=W,f(W)=V ならば ff は全単射。(3) V∩W={0}V\cap W=\{0\} と α∈R∖{0}\alpha\in\mathbb R\setminus\{0\} のもとでは、固有値 α\alpha の固有ベクトルは VV にも WW にも含まれない。

题目描述​

线性变换将子空间 VV 映入 WW，并将 WW 映入 VV。证明：(1) 两子空间维数不等则变换不单射。(2) 若两子空间之和是全空间且互相满映，则变换双射。(3) 若交仅为零向量，则非零特征值对应的特征向量不属于任一子空间。

Kai​

(1) ff が単射なら、その制限も単射なので dim⁡V≤dim⁡W\dim V\le\dim W かつ dim⁡W≤dim⁡V\dim W\le\dim V。従って次元が異なれば単射ではない。

(2)

f(Rn)=f(V+W)=f(V)+f(W)=W+V=Rn.f(\mathbb R^n)=f(V+W)=f(V)+f(W)=W+V=\mathbb R^n.

従って全射であり、有限次元の同じ空間上の線形変換なので単射でもある。

(3) f(v)=αvf(v)=\alpha v, v≠0v\ne0, α≠0\alpha\ne0 とする。v∈Vv\in V ならば αv∈W\alpha v\in W より v∈Wv\in W。従って v∈V∩W={0}v\in V\cap W=\{0\} となり矛盾する。v∈Wv\in W も同様に矛盾する。

本页目录