千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2018年8月実施 専門 A0

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

写像 $f:A\to B$ について次の条件を考える。

(i) $f$ は単射。(ii) $f$ は全射。(iii) 任意の集合 $C$ と写像 $g,h:C\to A$ について $f\circ g=f\circ h\Rightarrow g=h$。(iv) 任意の集合 $C$ と写像 $g,h:B\to C$ について $g\circ f=h\circ f\Rightarrow g=h$。

次の命題を、真なら証明し、偽なら反例を挙げよ。(1) (i)$\Rightarrow$(iii)。(2) (iii)$\Rightarrow$(i)。(3) (ii)$\Rightarrow$(iv)。(4) (iv)$\Rightarrow$(i)。

题目描述

对映射 $f:A\to B$ 考虑单射、满射以及上式定义的左消去性质 (iii)、右消去性质 (iv)。(1) 单射推出左消去。(2) 左消去推出单射。(3) 满射推出右消去。(4) 右消去推出单射。分别判断真假，真命题给出证明，假命题给出反例。

Kai

(1) 真。各 $c\in C$ について $f(g(c))=f(h(c))$ と単射性から $g(c)=h(c)$。

(2) 真。$f(a)=f(b)$ とする。$C=\{*\}$, $g(*)=a,h(*)=b$ と定めれば $f\circ g=f\circ h$。従って $g=h$、すなわち $a=b$。

(3) 真。任意の $b\in B$ に対し $f(a)=b$ となる $a\in A$ をとると

$$g(b)=g(f(a))=h(f(a))=h(b).$$

(4) 偽。$A=\{0,1\},B=\{0\}$ とし $f(0)=f(1)=0$ とする。$f$ は全射なので (3) より (iv) を満たすが、単射ではない。