千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2017年8月実施専門 B8

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$X_j$ は独立な Bernoulli $(p)$ 確率変数（ $0<p<1$ ）とし、

Y_m^+=\sum_{j=1}^mX_j,\quad Y_m^-=\sum_{j=1}^m(-1)^{j-1}X_j,\quad Z_m=\min\{n:Y_n^+\ge m\}

と定める。(1) $Y_m^+,Y_m^-$ の平均・分散を求めよ。(2) $\operatorname{Cov}(Y_m^+,Y_n^-)$ を求めよ。(3) $P(Z_1=k)=(1-p)^{k-1}p$ を示せ。(4) $P(Z_m=k)$ を求めよ。

独立 Bernoulli $(p)$ 变量的普通部分和、交错部分和及第 $m$ 次成功出现时刻按上式定义。(1) 求两种部分和的均值与方差。(2) 求它们的协方差。(3) 证明首次成功等待时间服从几何分布。(4) 求第 $m$ 次成功时刻的概率分布。

(1) $E[X_j]=p$ , $\operatorname{Var}(X_j)=p(1-p)$ と独立性から

E[Y_m^+]=mp,\quad E[Y_m^-]=\frac{1-(-1)^m}{2}p,\quad \operatorname{Var}(Y_m^+)=\operatorname{Var}(Y_m^-)=mp(1-p).

(2) 異なる添字の共分散は零なので、 $r=\min(m,n)$ とおくと

\operatorname{Cov}(Y_m^+,Y_n^-) =p(1-p)\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1} =\frac{1-(-1)^r}{2}p(1-p).

(3) $\{Z_1=k\}=\{X_1=\cdots=X_{k-1}=0,X_k=1\}$ 。独立性により確率は $(1-p)^{k-1}p$ 。

(4) $k<m$ では $0$ 。 $k\ge m$ では、最初の $k-1$ 回にちょうど $m-1$ 回成功し、第 $k$ 回に成功すればよいから

\boxed{P(Z_m=k)=\binom{k-1}{m-1}p^m(1-p)^{k-m}\quad(k\ge m)}.