千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2017年8月実施専門 B7

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$H=L^2([0,1];\mathbb C)$ に内積 $\langle f,g\rangle=\int_0^1f(x)\overline{g(x)}\,dx$ を入れ、

(Tf)(x)=\int_0^x f(y)\,dy

と定める。(1) $T$ の連続性を示せ。(2) $n\ge1$ に対して

(T^{n+1}f)(x)=\frac1{n!}\int_0^x(x-y)^nf(y)\,dy

を示せ。(3) $\|T^{n+1}\|\le1/n!$ を示せ。(4) 非零固有値がないことを示せ。(5) 共役作用素 $T^*$ に対して $(Tf+T^*f)(x)=\int_0^1f(y)\,dy$ を示せ。

在复 Hilbert 空间 $L^2([0,1])$ 上定义积分算子 $Tf(x)=\int_0^xf(y)dy$ 。(1) 证明连续。(2) 证明给定迭代积分公式。(3) 证明算子范数上界。(4) 证明无非零特征值。(5) 求证它与伴随算子之和为全区间积分得到的常函数。

(1) Cauchy–Schwarz の不等式から $|Tf(x)|\le\sqrt x\|f\|_2$ 。したがって $\|Tf\|_2^2\le\|f\|_2^2/2$ であり、 $T$ は有界、ゆえに連続である。

(2) $n=0$ の式は定義そのもの。帰納法と Fubini の定理によって

T^{n+2}f(x)=\frac1{n!}\int_0^x\int_0^u(u-y)^nf(y)\,dy\,du =\frac1{(n+1)!}\int_0^x(x-y)^{n+1}f(y)\,dy.

ここで $f\in L^1([0,1])$ で核は有界なので積分順序を交換できる。

(3) $0\le x-y\le1$ と $\|f\|_1\le\|f\|_2$ より、各 $x$ で $|T^{n+1}f(x)|\le\|f\|_2/n!$ 。両辺の二乗を積分すればよい。

(4) $Tf=\lambda f$ , $f\ne0$ とすると

|\lambda|^{n+1}\|f\|_2=\|T^{n+1}f\|_2\le\frac{\|f\|_2}{n!}.

$(n+1)$ 乗根をとって $n\to\infty$ とすれば $|\lambda|=0$ 。

(5) Fubini の定理で

\langle Tf,g\rangle=\int_0^1f(y)\overline{\int_y^1g(x)\,dx}\,dy

だから $(T^*g)(y)=\int_y^1g(x)\,dx$ 。従って $Tf(x)+T^*f(x)=\int_0^1f(y)\,dy$ （ほとんど至る所）。