千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2017年8月実施専門 B6

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$x\ge0$ で次の初期値問題を解け。

(1)

(y')^2=\tfrac12y^4-y^2+\tfrac12,\qquad y(0)=2,

ただしすべての $x\ge0$ で $y>1,y'\le0$ を満たす解を求める。

(2)

y''=y^3-y,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1/\sqrt2.

在 $x\ge0$ 上解上述两个初值问题。(1) 另要求处处 $y>1,y'\le0$ 。(2) 满足给定二阶方程和初始位置、初始导数。

(1) $(y')^2=(y^2-1)^2/2$ と符号条件から $y'=-(y^2-1)/\sqrt2$ 。変数分離すると

\frac12\log\frac{y-1}{y+1}=-\frac{x}{\sqrt2}-\frac12\log3.

したがって

\boxed{y(x)=\frac{3+e^{-\sqrt2x}}{3-e^{-\sqrt2x}}}.

この式は $x\ge0$ で定義され、 $y>1,y'<0$ を満たす。

(2) 方程式に $2y'$ を掛けて積分し初期条件を用いると、 $(y')^2=(1-y^2)^2/2$ 。初期点では正の平方根をとり、 $y'=(1-y^2)/\sqrt2$ を解くと

\boxed{y(x)=\tanh(x/\sqrt2)=\frac{1-e^{-\sqrt2x}}{1+e^{-\sqrt2x}}}.

この関数を代入すれば元の二階方程式と両初期条件を満たす。連立系 $(y,v)'=(v,y^3-y)$ の右辺は局所 Lipschitz 連続なので、初期値問題の一意性によりこれが求める解である。