千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2017年8月実施 専門 B5

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$D_r=\{z\in\mathbb C:|z|<r\}$ とし、$D_1$ 上で

$$f(z)=\frac12\log\frac{1+z}{1-z},\qquad f(0)=0$$

となる分枝をとる。(1) 原点での冪級数と収束半径を求めよ。(2) 単射性を示し、$\Omega=f(D_1)$ を求めよ。(3) $0<r<1$ に対し $\sup_{z\in D_r}|\operatorname{Im}f(z)|$ を求めよ。(4) $g$ が $D_1$ 上正則、$g(0)=0,g(D_1)\subset\Omega$ を満たすとき $|g'(0)|\le1$ を示せ。

题目描述

在单位圆盘上选取 $f(0)=0$ 的对数分支，按上式定义 $f$。(1) 求原点幂级数和收敛半径。(2) 证明单射并求像域。(3) 求半径 $r<1$ 的圆盘上虚部绝对值的上确界。(4) 对取值于像域且过原点的正则函数 $g$，证明 $|g'(0)|\le1$。

Kai

(1) $f'(z)=(1-z^2)^{-1}$ を項別積分して

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^{2n+1}}{2n+1},\qquad R=1.$$

(2) $z\mapsto(1+z)/(1-z)$ は単位円板から右半平面への全単射である。その偏角は $(-\pi/2,\pi/2)$ に属し、対数はそこから水平帯への全単射なので、$f$ は単射で

$$\boxed{\Omega=\{w:|\operatorname{Im}w|<\pi/4\}}.$$

(3) $z=x+iy$ に対し

$$\tan(2\operatorname{Im}f(z))=\frac{2y}{1-|z|^2}.$$

$|z|\le r$ では右辺の絶対値は $2r/(1-r^2)$ 以下であり、$z=\pm ir$ で等号をとる。開円板では境界へ近づけることで

$$\boxed{\sup_{D_r}|\operatorname{Im}f|=\frac12\arctan\frac{2r}{1-r^2}=\arctan r}.$$

(4) $F=f^{-1}\circ g=\tanh g$ は $D_1$ から自身への正則写像で $F(0)=0$。Schwarz の補題より $|F'(0)|\le1$。$f'(0)=1$ だから $F'(0)=g'(0)$ であり、結論を得る。