千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2017年8月実施 専門 B4

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• Simplicial-and-Cellular-Homology

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\mathbb R^3$ 内で

$$X=\{x^2+y^2+z^2=1\},\quad Y=\{x^2+y^2+z^2=1/4\}\cup\{(0,0,z):1/2\le|z|\le1\},\quad Z=X\cup Y$$

とする。(1) $H_0(X;\mathbb Z),H_1(X;\mathbb Z),H_2(X;\mathbb Z)$ を求めよ（答のみでよい）。(2) $Y$ の同じホモロジー群を簡単な理由とともに求めよ。(3) $H_0(Z;\mathbb Z)$ を簡単な理由とともに求めよ。(4) $H_1(Z;\mathbb Z),H_2(Z;\mathbb Z)$ を求めよ。実係数で答えてもよい。

题目描述

空间 $X$ 是单位球面；$Y$ 由半径 $1/2$ 的球面和沿 $z$ 轴向上下连接到单位球面的两条线段组成；$Z=X\cup Y$。(1) 求 $X$ 的零至二阶整数同调群。(2) 求 $Y$ 的同调并简述理由。(3) 求 $Z$ 的零阶同调并说明理由。(4) 求 $Z$ 的一、二阶整数同调，也可使用实系数。

Kai

(1)

$$H_0(X;\mathbb Z)=\mathbb Z,\quad H_1(X;\mathbb Z)=0,\quad H_2(X;\mathbb Z)=\mathbb Z.$$

(2) $Y$ の上下の線分を内側の球面の極へ縮めると、$Y$ は $S^2$ に変形収縮する。したがって同じ順に $\mathbb Z,0,\mathbb Z$。

(3) $Z$ は弧状連結なので $H_0(Z;\mathbb Z)=\mathbb Z$。

(4) $X\cap Y$ は北極と南極の2点である。この分解を部分複体として扱う（または各集合の小さな開近傍をとる）Mayer–Vietoris 完全列から

$$0\longrightarrow\mathbb Z^2\longrightarrow H_2(Z;\mathbb Z)\longrightarrow0$$

および

$$0\longrightarrow H_1(Z;\mathbb Z)\longrightarrow\mathbb Z^2 \xrightarrow{\alpha}\mathbb Z^2\longrightarrow\mathbb Z\longrightarrow0$$

を得る。$\alpha(r,s)=(r+s,-r-s)$ なので $\ker\alpha\cong\mathbb Z$。ゆえに

$$\boxed{H_1(Z;\mathbb Z)\cong\mathbb Z,\qquad H_2(Z;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^2}.$$