千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2017年8月実施 専門 B3

标签：

• Differentiable-Manifolds-and-Regular-Values

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$, $M_q=F^{-1}(q)$ とする。

(1) $M_q$ が可微分多様体となる必要十分条件は $q\ne0$ であることを示せ。以下 $q\ne0$ とする。(2) $p_0=(x_0,y_0,z_0)\in M_q$ における接平面が $x_0x+y_0y-z_0z=q$ であることを示せ。(3) $a^2+b^2+c^2=1$ のもとで、$h(x,y,z)=ax+by+cz$ が $M_q$ 上で臨界点をもつ条件を求めよ。(4)

$$\varphi(t,\theta)=(\cosh t\cos\theta,\cosh t\sin\theta,\sinh t),\quad (t,\theta)\in\mathbb R\times(-\pi,\pi)$$

に対し、$M_1$ 上の $\omega=x\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx-z\,dx\wedge dy$ の引き戻しを求めよ。

题目描述

令 $M_q=\{x^2+y^2-z^2=q\}$。(1) 证明它是可微分流形当且仅当 $q\ne0$。以下假设 $q\ne0$。(2) 求证给定切平面方程。(3) 在 $a^2+b^2+c^2=1$ 条件下，求线性函数 $ax+by+cz$ 在 $M_q$ 上有临界点的充要条件。(4) 按上式参数化 $M_1$，求二次微分形式 $\omega$ 的拉回。

Kai

(1) $\nabla F=2(x,y,-z)$ の零点は原点のみである。$q\ne0$ ならば正則値定理により $M_q$ は2次元部分多様体である。

$q=0$ の場合、原点以外では2次元であるが、原点の任意の近傍から原点を除くと $z>0$ と $z<0$ の二つの非空開部分に分かれる。2次元円板の中心を除いた集合は連結なので、原点に2次元の座標近傍は存在しない。

(2) 接ベクトル $(u,v,w)$ は $x_0u+y_0v-z_0w=0$ を満たす。$p_0$ を通るアフィン平面として書けば

$$x_0x+y_0y-z_0z=x_0^2+y_0^2-z_0^2=q.$$

(3) 臨界点であることは、ある $\lambda\ne0$ に対して

$$(a,b,c)=\lambda(x,y,-z)$$

となることと同値である。よって $q=(a^2+b^2-c^2)/\lambda^2$。必要十分条件は

$$\boxed{q(a^2+b^2-c^2)>0}.$$

すなわち $q>0$ では $c^2<1/2$、$q<0$ では $c^2>1/2$。条件成立時には $\lambda=\pm\sqrt{(a^2+b^2-c^2)/q}$ で点を構成できる。

(4) $\omega(u,v)=(x,y,-z)\cdot(u\times v)$ を用いると

$$\varphi_t\times\varphi_\theta =(-\cosh^2t\cos\theta,-\cosh^2t\sin\theta,\sinh t\cosh t).$$

したがって

$$\boxed{\varphi^*\omega=-\cosh t(\cosh^2t+\sinh^2t)\,dt\wedge d\theta}.$$