千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2017年8月実施 専門 B2

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• Exact-Sequences-and-Nonzero-Divisors

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

単位元をもつ可換環 $R$ のイデアル $I,J$ に対して $M=(R/I)\oplus(R/J)$ とおく。$R$ 加群準同型を

$$f(a+I)=(a+I,J),\quad g(b+J)=(I,b+J),\quad \varphi(a)=(a+I,a+J),$$

$$\sigma(a+I)=a+(I+J),\qquad\tau(b+J)=-b+(I+J)$$

で定める。(1) $\psi\circ f=\sigma,\psi\circ g=\tau$ を満たす $\psi:M\to R/(I+J)$ の値を求めよ。(2) $\operatorname{Im}\varphi=\ker\psi$ を示せ。(3) $a+(I\cap J)$ と $a+(I+J)$ が各商環で非零因子ならば、$a+I,a+J$ も各商環で非零因子であることを示せ。ここで非零因子とは $xy=0\Rightarrow y=0$ を満たす元である。

题目描述

对含幺交换环 $R$ 的理想 $I,J$，按上式定义模 $M$ 和同态。(1) 求满足指定条件的 $\psi$。(2) 证明 $\operatorname{Im}\varphi=\ker\psi$。(3) 若 $a$ 在模掉 $I\cap J$ 和 $I+J$ 的商环中都不是零因子，证明其在模掉 $I$ 和 $J$ 的商环中也不是零因子。

Kai

(1) 直和分解と線形性より

$$\psi(a+I,b+J)=a-b+(I+J).$$

(2) $\psi\varphi=0$ より一方の包含は明らか。逆に $a-b=i+j$（$i\in I,j\in J$）ならば $r=a-i=b+j$ とおくことで

$$(a+I,b+J)=(r+I,r+J)=\varphi(r).$$

(3) $a\bar m=0$ となる $\bar m\in M$ をとる。$a\psi(\bar m)=0$ であり、$a+(I+J)$ は非零因子だから $\psi(\bar m)=0$。したがって (2) より $\bar m=\varphi(r)$ と書ける。$0=a\varphi(r)=\varphi(ar)$ は $ar\in I\cap J$ を意味する。$a+(I\cap J)$ が非零因子なので $r\in I\cap J$、ゆえに $\bar m=0$。これを $\bar m=(b+I,J)$ および $(I,b+J)$ に適用すれば結論を得る。