千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2017年8月実施専門 B11

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$\alpha$ は $\mathbb F_2[X]$ の原始既約多項式 $X^4+X+1$ の根とする。長さ $15$ の符号

C=\{f\in\mathbb F_2[X]:\deg f<15,\ f(\alpha^6)=f(\alpha^7)=0\}

について、(1) 線形符号であること、(2) Hamming 最小距離が $5$ 以上であること、(3) 情報数が $7$ 、すなわち $[15,7]$ 符号であることを示せ。距離は係数が異なる位置の個数で定義する。

令 $\alpha$ 为本原不可约多项式 $X^4+X+1$ 的根，以在 $\alpha^6,\alpha^7$ 处为零的次数小于 $15$ 的二元多项式定义码。(1) 证明是线性码。(2) 证明 Hamming 最小距离至少为 $5$ 。(3) 证明维数为 $7$ 。

(1) 次数 $15$ 未満の多項式全体を係数ベクトルで $\mathbb F_2^{15}$ と同一視する。 $f\mapsto(f(\alpha^6),f(\alpha^7))$ は $\mathbb F_2$ 線形写像であり、その核が $C$ である。

(2) 二乗写像により、 $f\in C$ の零点には指数集合

\{3,6,12,9\}\cup\{7,14,13,11\}

が含まれる。特に $f(\alpha^j)=0$ （ $j=11,12,13,14$ ）。重み $1\le w\le4$ の非零符号語を $f=\sum_{i=1}^wX^{e_i}$ とする。相異なる $\beta_i=\alpha^{e_i}$ に対し、最初の $w$ 個の零点条件は

\begin{pmatrix} 1&\cdots&1\\ \beta_1&\cdots&\beta_w\\ \vdots&&\vdots\\ \beta_1^{w-1}&\cdots&\beta_w^{w-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\beta_1^{11}\\\vdots\\\beta_w^{11}\end{pmatrix}=0.

Vandermonde 行列は正則であるのに各 $\beta_i^{11}\ne0$ なので矛盾。線形符号の最小距離は非零符号語の最小重みに等しく、 $d\ge5$ 。

(3) 上記二つの Frobenius 軌道は相異なり、それぞれ長さ $4$ 。従って $\alpha^6,\alpha^7$ の最小多項式 $m_6,m_7$ は互いに素な4次多項式である。

f\in C\iff m_6m_7\mid f.

積の次数は $8$ なので、 $f=(m_6m_7)h$ , $\deg h<7$ と一意に書ける。よって $\dim_{\mathbb F_2}C=7$ 。