千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2017年8月実施専門 B1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$\mathbb F_3=\mathbb Z/3\mathbb Z$ 上の群 $GL_2(\mathbb F_3)$ と $G=SL_2(\mathbb F_3)$ を考える。

(1) 両群の位数を求めよ。以下

S=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix},\quad T=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

とする。(2) $\langle S,T\rangle$ の位数を求めよ。(3) $G=\langle S,T,U\rangle$ を示せ。(4) Sylow $3$ 部分群の個数を求めよ。(5) 交換子群 $D(G)$ を求めよ。

考虑 $\mathbb F_3$ 上的二阶一般线性群和特殊线性群 $G$ 。(1) 求两群的阶。令 $S,T,U$ 为上列矩阵。(2) 求 $\langle S,T\rangle$ 的阶。(3) 证明三矩阵生成 $G$ 。(4) 求 Sylow $3$ 子群个数。(5) 求交换子群。

(1) 第1列は非零ベクトルから $8$ 通り、第2列はその張る直線の外から $6$ 通り選べる。行列式写像は $\mathbb F_3^\times$ への全射だから

|GL_2(\mathbb F_3)|=48,\qquad |G|=24.

(2) $S^2=T^2=-I,\ TS=-ST$ より

Q:=\langle S,T\rangle=\{\pm I,\pm S,\pm T,\pm ST\}

であり、これらは相異なる。したがって $|Q|=8$ 。

(3) $U$ の位数は $3$ である。 $\langle Q,U\rangle$ の位数は $8$ と $3$ の公倍数であり $24$ の約数なので、 $24$ である。

(4) Sylow の定理より個数は $1$ または $4$ 。 $TUT^{-1}$ は非自明な下三角行列であり $\langle U\rangle$ に属さないので、 $\langle U\rangle$ は正規でない。よって個数は $4$ 。

(5) 直接計算により $USU^{-1}=-T$ , $UTU^{-1}=ST$ 。したがって $Q$ は $G$ の正規部分群で、 $G/Q$ は位数 $3$ の可換群である。ゆえに $D(G)\subset Q$ 。

交換子を $[A,B]=ABA^{-1}B^{-1}$ とすると

[U,S]=-ST,\qquad [U,T]=S.

これらは $Q$ を生成するため $Q\subset D(G)$ 。したがって $\boxed{D(G)=Q}$ 。