千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2017年8月実施専門 A4

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$X_1,\ldots,X_m$ は互いに独立で母数 $1$ の指数分布に従う。すなわち $x>0$ で $P(X_k\ge x)=e^{-x}$ とする。

(1) $0<a<b$ に対して $P(X_1>b\mid X_1>a)$ を求めよ。(2) $S_m=\sum_{k=1}^mX_k$ の密度を求めよ。(3) $\lambda>0$ に対して $P(S_m\le\lambda)$ を求めよ。

设 $m$ 个独立随机变量服从参数为 $1$ 的指数分布。(1) 求 $0<a<b$ 时的条件概率 $P(X_1>b\mid X_1>a)$ 。(2) 求和 $S_m$ 的概率密度。(3) 求 $\lambda>0$ 时 $P(S_m\le\lambda)$ 。

(1) 包含関係 $\{X_1>b\}\subset\{X_1>a\}$ より

P(X_1>b\mid X_1>a)=\frac{e^{-b}}{e^{-a}}=e^{-(b-a)}.

(2) 畳み込みにより

f_m(s)=\frac{s^{m-1}e^{-s}}{(m-1)!}\mathbf1_{(0,\infty)}(s).

実際 $m=1$ で成立し、帰納法では

f_{m+1}(s)=\int_0^s\frac{u^{m-1}e^{-u}}{(m-1)!}e^{-(s-u)}\,du =\frac{s^me^{-s}}{m!}.

(3) 上の密度を積分し、部分積分を繰り返すと

\boxed{P(S_m\le\lambda)=1-e^{-\lambda}\sum_{j=0}^{m-1}\frac{\lambda^j}{j!}}.