千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2017年8月実施 専門 A3

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

通常の位相をもつ $\mathbb R,\mathbb R^2$ に対し、単射

$$f(t)=\left(\frac{4t}{3+t^4},\frac{4t^2}{3+t^4}\right)$$

を考える（単射の証明は不要）。理由を付けて答えよ。(1) $f((1,\infty))$ は開集合か、閉集合か、いずれでもないか。(2) $f(\mathbb R)$ について同じ問いに答えよ。(3) $f$ は連続か。(4) 像に相対位相を入れたとき、$f^{-1}:f(\mathbb R)\to\mathbb R$ は連続か。

题目描述

考虑上式单射，定义域和值域取通常拓扑，无需证明单射。(1) 判断 $f((1,\infty))$ 是开集、闭集还是都不是。(2) 对 $f(\mathbb R)$ 作同样判断。(3) 判断 $f$ 是否连续。(4) 像取子空间拓扑，判断逆映射是否连续。均说明理由。

Kai

(1) 開でも閉でもない。$f(n)\to(0,0)=f(0)\notin f((1,\infty))$ なので閉でない。また像の点 $(x,y)$ は $x\ne0$ ならば $t=y/x$ を満たすので、各原点からの半直線上に高々一点しかない。像のどの点の近傍も像の外の点を含み、開でもない。

(2) 閉集合であり、開集合ではない。実際、$f(t_n)$ が収束したとする。$(t_n)$ が有界なら収束部分列 $t_{n_k}\to t$ をとれて、その像の極限は $f(t)$。非有界なら $|t_{n_k}|\to\infty$ となる部分列があり、像の極限は $0=f(0)$。いずれも極限は像に属する。開でない理由は (1) と同様である。

(3) 各成分は分母が常に正の有理関数なので連続である。

(4) 連続ではない。$f(n)\to f(0)$ であるのに、$f^{-1}(f(n))=n$ は $f^{-1}(f(0))=0$ に収束しない。