千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2017年8月実施専門 A2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$a>0$ とし、

f_a(x)=\begin{cases}ax+x^2\sin(1/x)&x\ne0,\\0&x=0\end{cases}

と定める。(1) $f_a'(0)$ を求めよ。(2) $f_a$ が $C^1$ 級でないことを示せ。(3) $a>1$ ならば、 $0$ を含むある開区間で狭義単調増大となることを示せ。(4) $0<a\le1$ ならば、 $0$ を含むどの開区間でも狭義単調増大でないことを示せ。

对 $a>0$ 定义上式函数。(1) 求原点导数。(2) 证明不是 $C^1$ 函数。(3) 证明 $a>1$ 时在原点的某个开邻域严格递增。(4) 证明 $0<a\le1$ 时在原点的任何开邻域都不严格递增。

(1) 差商は $a+h\sin(1/h)\to a$ なので $f_a'(0)=a$ 。

(2) $x\ne0$ では

f_a'(x)=a+2x\sin(1/x)-\cos(1/x).

$x_n=(2\pi n)^{-1}\to0$ に沿って $f_a'(x_n)=a-1\ne f_a'(0)$ 。したがって導関数は原点で連続でない。

(3) $0<\delta<(a-1)/2$ とすれば、 $0<|x|<\delta$ で $f_a'(x)\ge a-1-2|x|>0$ 。原点でも導関数は正だから平均値の定理より $(-\delta,\delta)$ 上で狭義単調増大である。

(4) $a<1$ ならば上記 $x_n$ で $f_a'(x_n)=a-1<0$ 。

$a=1$ の場合は $t_n=2\pi n$ , $u_n=t_n-t_n^{-1}$ , $z_n=u_n^{-1}$ とおく。 $z_n\to0$ であり、

t_n^2f_1'(z_n) =t_n^2\left(1-\cos(t_n^{-1})-\frac{2\sin(t_n^{-1})}{t_n-t_n^{-1}}\right) \longrightarrow\frac12-2=-\frac32.

したがって十分大きい $n$ で $f_1'(z_n)<0$ 。単調増大な微分可能関数の導関数は非負なので、いずれの場合も所望の単調性は成り立たない。