千葉大学融合理工学府数学情報科学専攻数学・情報数理学コース 2017年8月実施専門 A1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$V=M_3(\mathbb C)$ とし、 $f_A(X)=AX+XA$ と定める。

(1) $f_{A-\alpha I}=f_A-2\alpha\operatorname{id}_V$ を示せ。(2) $B=P^{-1}AP$ ならば $f_B=\varphi f_A\varphi^{-1}$ となる同型 $\varphi:V\to V$ が存在することを示せ。

(3) 次の $T$ の Jordan 標準形を求めよ。変換行列は不要である。

T=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\-2&-2&4\end{pmatrix}.

(4) $f_T$ の Jordan 標準形を求めよ。

令 $V=M_3(\mathbb C)$ ，定义线性变换 $f_A(X)=AX+XA$ 。

(1) 证明 $f_{A-\alpha I}=f_A-2\alpha\operatorname{id}$ 。(2) 证明相似矩阵对应的 $f_A,f_B$ 也相似。(3) 求上列矩阵 $T$ 的 Jordan 标准形，无需变换矩阵。(4) 求 $f_T$ 的 Jordan 标准形。

(1) 任意の $X$ に対して

(A-\alpha I)X+X(A-\alpha I)=AX+XA-2\alpha X.

(2) $\varphi(X)=P^{-1}XP$ とすれば、 $\varphi$ は同型であり、直接計算から $\varphi f_A\varphi^{-1}(X)=BX+XB$ 。

(3) $N=T-2I$ とおくと $\operatorname{rank}N=1,N^2=0$ 。したがって

J_T=J_2(2)\oplus J_1(2).

(4) (1)(2) より $T$ を $2I+E_{12}$ に置き換えてよい。 $L(X)=E_{12}X+XE_{12}$ とすれば $f_T$ は $4I+L$ と相似である。成分計算により

\operatorname{rank}L=4,\qquad L^2(X)=2E_{12}XE_{12},\qquad \operatorname{rank}L^2=1,\qquad L^3=0.

よって長さ $3$ の鎖が一つ、長さ $2$ の鎖が二つ、長さ $1$ の鎖が二つある。答えは

\boxed{J_3(4)\oplus J_2(4)\oplus J_2(4)\oplus J_1(4)\oplus J_1(4)}.