千葉大学 融合理工学府 数学情報科学専攻 数学・情報数理学コース 2017年8月実施 専門 A0

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• Binary-Relations
• Cardinality

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$A,B$ を $\mathbb Z$ の空でない部分集合とし、

$$m\sim n\iff (m,n\in A)\ \text{または}\ (m,n\in B)\ \text{または}\ m=n$$

と定める。

(1) 同値関係にならない例を挙げよ。(2) $A\cap B=\varnothing$ ならば同値関係であることを示せ。

以下 $A\cap B=\varnothing$ とし、$\pi:\mathbb Z\to\mathbb Z/\!\sim$ を自然な写像とする。

(3) $A=\mathbb Z_{>0},B=\mathbb Z_{<0}$ のとき商集合の濃度を求めよ。(4) 商集合が有限となる必要十分条件を求めよ。(5) $f(n)=|n|$ が $f=g\circ\pi$ と書ける $A,B$ の例を挙げよ。(6) $\pi=h\circ f$ となる $h:\mathbb Z\to\mathbb Z/\!\sim$ が存在すれば商集合は有限であることを示せ。

题目描述

在整数集的非空子集 $A,B$ 上定义关系：两数同属 $A$、同属 $B$ 或相等时等价。

(1) 举出该关系不是等价关系的例子。(2) 证明 $A\cap B=\varnothing$ 时它是等价关系。

以下假设两集合不交，$\pi$ 为商映射。(3) $A$ 为正整数集、$B$ 为负整数集时，求商集基数。(4) 求商集有限的充要条件。(5) 对 $f(n)=|n|$，举出存在 $g$ 使 $f=g\circ\pi$ 的例子。(6) 证明若存在 $h$ 使 $\pi=h\circ f$，则商集有限。

Kai

(1) $A=\{0,1\},B=\{1,2\}$ とすれば $0\sim1,1\sim2$ だが $0\not\sim2$ である。

(2) 反射律・対称律は明らかである。$\ell\sim m,m\sim n$ において等しい点があれば推移律も明らかである。それ以外の場合、$m$ が属する $A,B$ の一方に $\ell,n$ も属するので $\ell\sim n$。

(3) 同値類は $A,B,\{0\}$ の三つであり、濃度は $3$。

(4) 同値類は $A,B$ と、$\mathbb Z\setminus(A\cup B)$ の各点の一元集合である。したがって必要十分条件は $\mathbb Z\setminus(A\cup B)$ が有限であること。

(5) $A=\{-1,1\},B=\{-2,2\}$ とすればよい。各同値類上で絶対値は一定なので $g([n])=|n|$ は矛盾なく定まる。

(6) 任意の正整数 $n$ に対して $\pi(n)=h(n)=\pi(-n)$。$n\ne-n$ より両者はともに $A$ またはともに $B$ に属する。ゆえに

$$\mathbb Z\setminus(A\cup B)\subset\{0\}.$$

(4) より商集合は有限（濃度は $2$ または $3$）である。