千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2016年8月実施専門 B9

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$X_1,\ldots,X_n$ は独立に平均 $\mu$ 、分散 $\sigma^2>0$ の分布 $D$ に従い、 $n\ge2$ とする。

\overline X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i,\qquad S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2.

(1) $E[\overline X^2]$ を求めよ。

(2) $S^2$ が $\sigma^2$ の不偏推定量であることを示せ。

(3) $D=N(\mu,\sigma^2)$ の場合、自然数 $k$ に対して $E[(\overline X-\mu)^k]$ を求めよ。

设独立同分布样本的均值为 $\mu$ 、方差为 $\sigma^2>0$ ， $n\ge2$ ，样本均值为 $\overline X$ ，无偏样本方差为 $S^2=(n-1)^{-1}\sum_i(X_i-\overline X)^2$ 。

(1) 求 $E[\overline X^2]$ 。

(2) 证明 $E[S^2]=\sigma^2$ 。

(3) 若总体正态，求样本均值的任意阶中心矩。

独立性より $E\overline X=\mu$ 、 $\operatorname{Var}\overline X=\sigma^2/n$ 。従って

E[\overline X^2]=\mu^2+\frac{\sigma^2}{n}.

恒等式

\sum_i(X_i-\overline X)^2=\sum_i(X_i-\mu)^2-n(\overline X-\mu)^2

の期待値を取ると

(n-1)E[S^2]=n\sigma^2-n\frac{\sigma^2}{n}=(n-1)\sigma^2.

従って $E[S^2]=\sigma^2$ 。

$Z=\sqrt n(\overline X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$ 。対称性から奇数次モーメントは零である。偶数次は標準正規密度 $\phi$ に対する $\phi'(z)=-z\phi(z)$ と部分積分により

E[Z^{2m}]=(2m-1)E[Z^{2m-2}]=(2m-1)!!.

従って

E[(\overline X-\mu)^k]= \begin{cases} 0&k\text{ が奇数},\\ (2m-1)!!\left(\dfrac{\sigma^2}{n}\right)^m&k=2m. \end{cases}