千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 B8

标签：

• Convolution-of-Independent-Random-Variables

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$X_1,X_2,\ldots$ は独立同分布の整数値確率変数で、確率質量関数が $p(x)=p(-x)$ を満たすとする。

(1) $X_1+X_2$ の分布を $p$ で表せ。

(2) 任意の整数 $x$ について $P(X_1+X_2=0)\ge P(X_1+X_2=x)$ を示せ。

(3) 任意の正整数 $n$ と整数 $x$ について

$$P\left(\sum_{j=1}^{2n}X_j=0\right)\ge P\left(\sum_{j=1}^{2n}X_j=x\right)$$

を示せ。

题目描述

设 $X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布、取整数值，其概率质量函数满足 $p(x)=p(-x)$。

(1) 用 $p$ 表示两变量之和的分布。

(2) 证明该和取零的概率不小于取任何整数 $x$ 的概率。

(3) 将结论推广到任意偶数 $2n$ 个变量之和。

Kai

(1)

独立性と全確率公式より

$$P(X_1+X_2=x)=\sum_{k\in\mathbb Z}p(k)p(x-k).$$

(2)

$\sum_kp(k)^2\le\sum_kp(k)=1$ なので Cauchy–Schwarz の不等式を適用できる。対称性より

$$P(X_1+X_2=0)=\sum_kp(k)p(-k)=\sum_kp(k)^2.$$

また

$$\sum_kp(k)p(x-k) \le\left(\sum_kp(k)^2\right)^{1/2}\left(\sum_kp(x-k)^2\right)^{1/2} =\sum_kp(k)^2.$$

従って結論が従う。

(3)

$U=X_1+\cdots+X_n$、$V=X_{n+1}+\cdots+X_{2n}$ とおく。$U,V$ は独立同分布で、各 $X_j$ と $-X_j$ の同分布性から共通の質量関数も対称である。従って (2) を $U,V$ に適用すればよい。