千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 B7

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• 朗斯基行列式

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

区間 $I$ 上連続な実数値関数 $p,q$ に対して

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0\tag{E}$$

を考える。実数値解 $y_1,y_2$ の Wronskian を $W=y_1y_2'-y_1'y_2$ とする。

(1) $y_1,y_2$ が線形従属なら $W\equiv0$ を示せ。

(2) 線形独立なら $W$ は $I$ 上常に正か常に負であることを示せ。

(3) 非自明解 $y$ の隣り合う零点 $a<b$ に対し $y'(a)y'(b)<0$ を示せ。

(4) 線形独立な解 $y_1,y_2$ について、$y_1$ の隣り合う零点の間には必ず $y_2$ の零点があることを示せ。

题目描述

考虑实系数二阶方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$，其中 $p,q$ 在区间 $I$ 连续，解取实值。令 $W=y_1y_2'-y_1'y_2$。

(1) 证明线性相关解的 Wronskian 恒零。

(2) 证明线性无关时 Wronskian 恒正或恒负。

(3) 对非平凡解相邻的零点 $a<b$，证明 $y'(a)y'(b)<0$。

(4) 证明两个线性无关解的零点交错：$y_1$ 的相邻零点之间存在 $y_2$ 的零点。

Kai

(1)

線形従属なら、どちらかが零解であるか、一方が他方の定数倍である。いずれの場合も行列式の二列が従属するので $W\equiv0$。

(2)

方程式を用いて

$$W'=y_1y_2''-y_1''y_2=-pW,qquad W(x)=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^xp(t)\,dt\right).$$

もし $W(x_0)=0$ なら、ある $(c_1,c_2)\ne(0,0)$ に対して $u=c_1y_1+c_2y_2$ が $u(x_0)=u'(x_0)=0$ を満たす。初期値問題の一意性から $u\equiv0$ となり、線形独立性に反する。従って $W(x_0)\ne0$ であり、指数因子は正なので $W$ の符号は一定である。

(3)

必要なら $y$ を $-y$ に替え、$y>0$ on $(a,b)$ とする。右・左からの差商により $y'(a)\ge0,y'(b)\le0$。どちらかが零なら、その点で $y=y'=0$ となり、一意性から零解になってしまう。従って $y'(a)>0,y'(b)<0$ であり、積は負である。

(4)

$y_1(a)=y_1(b)=0$ なら

$$W(a)=-y_1'(a)y_2(a),\qquad W(b)=-y_1'(b)y_2(b).$$

(2) より左辺は同符号かつ零でない。(3) より $y_1'(a),y_1'(b)$ は異符号なので、$y_2(a),y_2(b)$ は異符号である。中間値の定理から $(a,b)$ 内に $y_2$ の零点が存在する。