千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 B6

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• Cauchy-Sequence

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$H=\{f\in C^1([0,1];\mathbb R):f(0)=0\}$ とし、

$$\langle f,g\rangle=\int_0^1f'(t)g'(t)\,dt,\qquad \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}$$

と定める。

(1) $|f(x)|\le\sqrt x\|f\|$（$0\le x\le1$）を示せ。

(2) $H$ の Cauchy 列 $\{f_n\}$ に対して $h\in L^2[0,1]$ が存在し、$f_n$ が連続関数 $g(x)=\int_0^xh(t)\,dt$ に各点収束することを示せ。

题目描述

设 $H$ 为满足 $f(0)=0$ 的实值 $C^1[0,1]$ 函数，范数为 $\|f\|=(\int_0^1|f'|^2)^{1/2}$。

(1) 证明 $|f(x)|\le\sqrt x\|f\|$。

(2) 对该范数下的任意 Cauchy 列 $f_n$，证明存在 $h\in L^2[0,1]$，使 $f_n$ 逐点收敛到连续函数 $g(x)=\int_0^xh(t)\,dt$。

Kai

(1)

$f(0)=0$ と Cauchy–Schwarz の不等式から

$$|f(x)|=\left|\int_0^xf'(t)\,dt\right| \le\left(\int_0^x1\,dt\right)^{1/2}\left(\int_0^x|f'(t)|^2\,dt\right)^{1/2} \le\sqrt x\|f\|.$$

(2)

$\|f_n'-f_m'\|_{L^2}=\|f_n-f_m\|\to0$ なので、$L^2[0,1]$ の完備性により $f_n'\to h$ となる $h\in L^2[0,1]$ が存在する。

$g(x)=\int_0^xh(t)\,dt$ とおけば

$$|g(x)-g(y)|\le\sqrt{|x-y|}\|h\|_{L^2}$$

より $g$ は連続。また

$$|f_n(x)-g(x)|=\left|\int_0^x(f_n'(t)-h(t))\,dt\right| \le\sqrt x\|f_n'-h\|_{L^2}\le\|f_n'-h\|_{L^2}\to0.$$

従って実際には一様収束し、特に各点収束する。