千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2016年8月実施専門 B6

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$H=\{f\in C^1([0,1];\mathbb R):f(0)=0\}$ とし、

\langle f,g\rangle=\int_0^1f'(t)g'(t)\,dt,\qquad \|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}

と定める。

(1) $|f(x)|\le\sqrt x\|f\|$ （ $0\le x\le1$ ）を示せ。

(2) $H$ の Cauchy 列 $\{f_n\}$ に対して $h\in L^2[0,1]$ が存在し、 $f_n$ が連続関数 $g(x)=\int_0^xh(t)\,dt$ に各点収束することを示せ。

设 $H$ 为满足 $f(0)=0$ 的实值 $C^1[0,1]$ 函数，范数为 $\|f\|=(\int_0^1|f'|^2)^{1/2}$ 。

(1) 证明 $|f(x)|\le\sqrt x\|f\|$ 。

(2) 对该范数下的任意 Cauchy 列 $f_n$ ，证明存在 $h\in L^2[0,1]$ ，使 $f_n$ 逐点收敛到连续函数 $g(x)=\int_0^xh(t)\,dt$ 。

$f(0)=0$ と Cauchy–Schwarz の不等式から

|f(x)|=\left|\int_0^xf'(t)\,dt\right| \le\left(\int_0^x1\,dt\right)^{1/2}\left(\int_0^x|f'(t)|^2\,dt\right)^{1/2} \le\sqrt x\|f\|.

$\|f_n'-f_m'\|_{L^2}=\|f_n-f_m\|\to0$ なので、 $L^2[0,1]$ の完備性により $f_n'\to h$ となる $h\in L^2[0,1]$ が存在する。

$g(x)=\int_0^xh(t)\,dt$ とおけば

|g(x)-g(y)|\le\sqrt{|x-y|}\|h\|_{L^2}

より $g$ は連続。また

|f_n(x)-g(x)|=\left|\int_0^x(f_n'(t)-h(t))\,dt\right| \le\sqrt x\|f_n'-h\|_{L^2}\le\|f_n'-h\|_{L^2}\to0.

従って実際には一様収束し、特に各点収束する。