千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2016年8月実施専門 B5

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

次の各条件を満たす整関数 $f$ を全て求めよ。

(1) 全ての $z\in\mathbb C$ で $|f(z)|\le|z|$ 。

(2) ある正整数 $k$ と $M>0$ が存在し、全ての $z$ で $|f(z)|\le M|z|^k$ 。

(3) ある正整数 $k$ と $M>0$ が存在し、 $|z|>1$ で $|f(z)|\le M|z|^k$ 。

(4) $f(0)=f'(0)=0,f(1)=1$ かつ全ての $z$ で $|f'(z)|\le2|z|$ 。

分别求满足以下条件的全部整函数。

(1) 对所有 $z$ ， $|f(z)|\le|z|$ 。

(2) 存在正整数 $k$ 和 $M>0$ ，对所有 $z$ ， $|f(z)|\le M|z|^k$ 。

(3) 同样的增长界只要求在 $|z|>1$ 成立。

(4) $f(0)=f'(0)=0,f(1)=1$ ，且对所有 $z$ 有 $|f'(z)|\le2|z|$ 。

$f(0)=0$ なので $g(z)=f(z)/z$ は原点で可除特異点を持ち、整関数に延長される。 $|g|\le1$ より Liouville の定理から $g$ は定数。従って

f(z)=az\qquad(|a|\le1).

これらは全て条件を満たす。

$f(z)=\sum_{j\ge0}a_jz^j$ とする。Cauchy の評価から任意の $R>0$ について

|a_j|\le MR^{k-j}.

$j<k$ では $R\downarrow0$ 、 $j>k$ では $R\to\infty$ として $a_j=0$ 。従って

f(z)=az^k\qquad(a\in\mathbb C,\ k\ge1).

逆に $M\ge|a|$ とすれば条件を満たす。零関数も含まれる。

同じ評価を $R>1$ で用い、 $R\to\infty$ とすると $a_j=0$ （ $j>k$ ）。従って $f$ は次数が $k$ 以下の多項式。

逆に任意の多項式 $f(z)=\sum_{j=0}^da_jz^j$ に対し、 $k=\max(1,d)$ 、 $M=1+\sum_j|a_j|$ とすれば $|z|>1$ で条件を満たす。よって答えは全ての多項式である。

(1) を $f'/2$ に適用すると $f'(z)=az$ （ $|a|\le2$ ）。積分して $f(z)=az^2/2+b$ 。 $f(0)=0,f(1)=1$ より $b=0,a=2$ 。従って唯一の解は $f(z)=z^2$ 。