千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2016年8月実施専門 B4

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$\mathbb R^3$ の部分集合

A=\{(x,0,0):|x|\le1\},\quad B=\{(x,y,0):|x|+|y|\le1\},\quad S=\{(x,y,z):|x|+|y|+|z|=1\}

を考え、 $X=A\cup S,Y=B\cup S$ とおく。

(1) $X,Y$ を図示せよ。

(2) $H_q(X;\mathbb Z),H_q(Y;\mathbb Z)$ （ $q=0,1,2$ ）を求めよ。

(3) 包含 $i:X\hookrightarrow Y$ が誘導する $i_*:H_q(X;\mathbb Z)\to H_q(Y;\mathbb Z)$ の像を求めよ。

设 $A$ 为连接 $(-1,0,0)$ 和 $(1,0,0)$ 的线段， $B$ 为平面 $z=0$ 内的实心菱形 $|x|+|y|\le1$ ， $S$ 为八面体表面 $|x|+|y|+|z|=1$ 。令 $X=A\cup S,Y=B\cup S$ 。

(1) 画图。

(2) 求两空间的 $0,1,2$ 次整数同调群。

(3) 求包含映射 $i:X\hookrightarrow Y$ 在这些同调群上诱导映射的像。

$S$ は正八面体の表面である。 $X$ はその内部に $x$ 軸上の対角線 $A$ を加えたもの、 $Y$ は赤道の菱形を円板 $B$ で埋めたものである。薄い面は八面体の表面を表す。

$八面体に線分または赤道円板を加えた空間$

$S\cong S^2$ 。 $A$ の両端を結ぶ $S$ 上の単純な弧を取って一点に縮めると、 $X$ は $S^2\vee S^1$ とホモトピー同値になる。従って

H_0(X)=\mathbb Z,\qquad H_1(X)=\mathbb Z,\qquad H_2(X)=\mathbb Z.

$Y$ は上半分の円板 $D_+$ 、下半分の円板 $D_-$ 、赤道の円板 $B$ の三枚を、共通の境界円周で貼り合わせた空間である。境界円周を一つの $0$ セルと一つの $1$ セルで表し、三枚を全て同じ境界向きになるように向き付けると、細胞鎖複体は

0\longrightarrow\mathbb Z^3\xrightarrow{(a,b,c)\mapsto a+b+c}\mathbb Z\xrightarrow0\mathbb Z\longrightarrow0.

従って

H_0(Y)=\mathbb Z,\qquad H_1(Y)=0,\qquad H_2(Y)=\{(a,b,c)\in\mathbb Z^3:a+b+c=0\}\cong\mathbb Z^2.

両空間は連結なので $q=0$ の像は $\mathbb Z$ 。 $q=1$ の像は標的が零なので $0$ 。

$q=2$ では $H_2(X)$ は球面 $S$ の基本類で生成され、その像は $[D_+-D_-]$ 。 $H_2(Y)$ の基底を

u=[D_+-B],\qquad v=[D_--B]

と取れば $i_*[S]=u-v$ 。従って

\operatorname{im}i_*= \begin{cases} \mathbb Z&q=0,\\ 0&q=1,\\ \mathbb Z(u-v)=\{(m,-m):m\in\mathbb Z\}\subset\mathbb Z^2&q=2. \end{cases}