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千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 B3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

f:R4→Rf:\mathbb R^4\to\mathbb R を f(x,y,z,w)=x2+y2+z2+w2−1f(x,y,z,w)=x^2+y^2+z^2+w^2-1 とする。

(1) f−1(0)f^{-1}(0) 上で J(f)J(f) の階数を求めよ。

(2) f−1(0)f^{-1}(0) が可微分多様体であることを示し、次元を求めよ。

次に F:R4→R2F:\mathbb R^4\to\mathbb R^2 を

F(x,y,z,w)=(x2+y2+z2+w2−1, x2+y2−z2−w2)F(x,y,z,w)=(x^2+y^2+z^2+w^2-1,\ x^2+y^2-z^2-w^2)

とし、M=F−1(0)M=F^{-1}(0) とおく。

(3) MM 上で J(F)J(F) の階数を求めよ。

(4) MM が可微分多様体であることを示し、次元を求めよ。

(5) φ:M→R\varphi:M\to\mathbb R, φ=x+y+z+w\varphi=x+y+z+w の臨界点と臨界値を求めよ。

题目描述​

令 f=x2+y2+z2+w2−1f=x^2+y^2+z^2+w^2-1。

(1) 求零水平集上 Jacobian 的秩。

(2) 证明该零水平集是光滑流形并求维数。

再令 F=(x2+y2+z2+w2−1,x2+y2−z2−w2)F=(x^2+y^2+z^2+w^2-1,x^2+y^2-z^2-w^2)，M=F−1(0)M=F^{-1}(0)。

(3) 求 MM 上 J(F)J(F) 的秩。

(4) 证明 MM 是光滑流形并求维数。

(5) 求 φ=x+y+z+w\varphi=x+y+z+w 在 MM 上的临界点及其函数值。

Kai​

(1)・(2)​

J(f)=2(x,y,z,w)J(f)=2(x,y,z,w)。f−1(0)f^{-1}(0) 上ではこの行ベクトルは零でないので階数は 11。従って 00 は正則値であり、正則値定理により f−1(0)f^{-1}(0) は次元 4−1=34-1=3 の可微分多様体である。

(3)・(4)​

MM の条件は x2+y2=z2+w2=1/2x^2+y^2=z^2+w^2=1/2 と同値である。

J(F)=2(xyzwxy−z−w).J(F)=2\begin{pmatrix}x&y&z&w\\x&y&-z&-w\end{pmatrix}.

二つの行の線形結合が零なら (a+b)(x,y)=0(a+b)(x,y)=0、(a−b)(z,w)=0(a-b)(z,w)=0。両ベクトルは零でないので a=b=0a=b=0。従って階数は 22。

よって 0∈R20\in\mathbb R^2 は正則値で、MM は次元 4−2=24-2=2 の可微分多様体である。

(5)​

各円を角度で表して

(x,y,z,w)=12(cos⁡u,sin⁡u,cos⁡v,sin⁡v).(x,y,z,w)=\frac1{\sqrt2}(\cos u,\sin u,\cos v,\sin v).

これらは局所座標となり、臨界条件は

−sin⁡u+cos⁡u=0,−sin⁡v+cos⁡v=0.-\sin u+\cos u=0,\qquad-\sin v+\cos v=0.

従って全臨界点と値は

(ε2,ε2,δ2,δ2),φ=ε+δ(ε,δ∈{1,−1}).\left(\frac\varepsilon2,\frac\varepsilon2,\frac\delta2,\frac\delta2\right),\qquad \varphi=\varepsilon+\delta\quad(\varepsilon,\delta\in\{1,-1\}).

すなわち四点で、値は 2,0,0,−22,0,0,-2。

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