千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 B2

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• Galois-Groups-and-Intermediate-Fields

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$K=\mathbb Q(\sqrt[4]2)$ とする。

(1) $K/\mathbb Q$ が Galois 拡大でないことを示せ。

(2) $K$ を含む最小の $\mathbb Q$ の Galois 拡大 $L$ を求めよ。

(3) $\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q)$ が位数 $8$ の二面体群と同型であることを示せ。

(4) $L$ の部分体を全て求めよ。

题目描述

令 $K=\mathbb Q(\sqrt[4]2)$。

(1) 证明 $K/\mathbb Q$ 不是 Galois 扩张。

(2) 求包含 $K$ 的最小 Galois 扩张 $L/\mathbb Q$。

(3) 证明其 Galois 群是 $8$ 阶二面体群。

(4) 求出 $L$ 的所有子域。

Kai

$a=\sqrt[4]2>0$ とおく。

(1)

$X^4-2$ は $2$ に関する Eisenstein の判定法で既約。しかし根 $ia$ は実数体 $K\subset\mathbb R$ に含まれない。従って $K/\mathbb Q$ は正規でなく、Galois 拡大でない。

(2)

$X^4-2$ の分解体は

$$L=\mathbb Q(a,i).$$

これは標数零の分離多項式の分解体なので Galois 拡大である。$a$ を含む任意の Galois 拡大は $a$ の全共役、特に $ia$ と $i$ を含むので、これが最小である。

(3)

$[\mathbb Q(a):\mathbb Q]=4$、$i\notin\mathbb Q(a)$ なので $[L:\mathbb Q]=8$。

自己同型を

$$r(a)=ia,\quad r(i)=i,\qquad s(a)=a,\quad s(i)=-i$$

で定める。これらは $r^4=s^2=1,srs=r^{-1}$ を満たし、$r^j,r^js$（$0\le j<4$）の八つは相異なる。従って Galois 群は位数 $8$ の二面体群 $D_4$。

(4)

$D_4$ の部分群と固定体の対応は次の通りである。

部分群 $H$	固定体 $L^H$
$D_4$	$\mathbb Q$
$\langle r\rangle$	$\mathbb Q(i)$
$\langle r^2,s\rangle$	$\mathbb Q(\sqrt2)$
$\langle r^2,rs\rangle$	$\mathbb Q(\sqrt{-2})$
$\langle r^2\rangle$	$\mathbb Q(\sqrt2,i)$
$\langle s\rangle$	$\mathbb Q(a)$
$\langle r^2s\rangle$	$\mathbb Q(ia)$
$\langle rs\rangle$	$\mathbb Q((1+i)a)$
$\langle r^3s\rangle$	$\mathbb Q((1-i)a)$
$\{1\}$	$L$

各生成元に $r,s$ を作用させると、表の部分群がちょうどその安定化群であることが分かるため、固定体の等号が成立する。$D_4$ の部分群は、位数 $8$ が一つ、位数 $4$ が三つ、位数 $2$ が五つ、位数 $1$ が一つで尽くされる。Galois 対応により、表の十体が全てである。