千葉大学 理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 2016年8月実施 専門 B1

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• Sylow-Subgroups-and-Normalizers

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$G=A_7$、$\sigma=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7)$、$S=\langle\sigma\rangle$ とする。部分群 $X$ に対し

$$N_G(X)=\{g:gX=Xg\},\qquad C_G(X)=\{g:gx=xg\ (\forall x\in X)\}$$

と定める。

(1) $C_G(S)\triangleleft N_G(S)$ を示せ。

(2) $|N_G(S)|$ を求めよ。

(3) $\rho\sigma\rho^{-1}=\sigma^2$ を満たす $\rho\in G$ を一つ求め、そのような元の個数が $|C_G(S)|$ に等しいことを示せ。

(4) $\rho\sigma\rho^{-1}=\sigma^m$ を満たす $\rho\in G$ が存在する $1\le m\le7$ を全て求めよ。

(5) $N_G(N_G(S))=N_G(S)$ を示せ。

题目描述

设 $G=A_7$，$S$ 为 $7$ 循环 $\sigma=(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7)$ 生成的子群，$N_G,C_G$ 分别表示正规化子和中心化子。

(1) 证明 $C_G(S)$ 正规于 $N_G(S)$。

(2) 求正规化子的阶。

(3) 给出将 $\sigma$ 共轭为 $\sigma^2$ 的偶置换，并证明这类置换有 $|C_G(S)|$ 个。

(4) 找出所有可能的指数 $1\le m\le7$。

(5) 证明正规化子的正规化子仍是它本身。

Kai

(1)

共役作用による準同型 $N_G(S)\to\operatorname{Aut}(S)$ の核が $C_G(S)$ なので正規部分群である。

(2)

点 $j$ を $j-1\in\mathbb F_7$ と同一視すると、$\sigma$ は平行移動 $x\mapsto x+1$。$S_7$ における正規化群は

$$x\longmapsto ax+b\qquad(a\in\mathbb F_7^\times,b\in\mathbb F_7)$$

の全体である。実際、$\rho\sigma\rho^{-1}=\sigma^a$ は $\rho(x+1)=\rho(x)+a$ と同値である。

従って $S_7$ 内での位数は $42$。$x\mapsto3x$ は $0$ を固定して非零元を一つの $6$ サイクルとして巡回させる奇置換なので、偶置換はちょうど半数。よって $|N_G(S)|=21$。

(3)

$x\mapsto2x$ に対応する

$$\rho=(2\ 3\ 5)(4\ 7\ 6)$$

が条件を満たす。二つの元 $\rho,\rho_0$ が同じ共役像を与える必要十分条件は $\rho_0^{-1}\rho\in C_G(S)$ なので、解集合は $\rho_0C_G(S)$。

$7$ サイクルと可換な置換はその冪のみであり、それらは全て偶置換だから $C_G(S)=S$。従って解は $7$ 個である。

(4)

平行移動は全て偶置換。乗法 $x\mapsto2x$ は偶置換であり、乗法 $3$ は奇置換で $\mathbb F_7^\times$ の生成元である。従って偶置換となる乗数は

$$\{1,3^2,3^4\}=\{1,2,4\}\pmod7.$$

よって $m=1,2,4$。$m=7$ は像が単位元となるので不可能。

(5)

$N=N_G(S)$ の位数は $21$。その Sylow $7$ 部分群の個数は $3$ の約数で、法 $7$ で $1$ に合同なので $1$。従って $S$ は $N$ の唯一の Sylow $7$ 部分群である。

$g\in N_G(N)$ なら $gSg^{-1}$ も $N$ の Sylow $7$ 部分群なので $gSg^{-1}=S$。従って $g\in N$。逆の包含は明らかで、$N_G(N)=N$。