千葉大学理学研究科基盤理学専攻数学・情報数理学コース 2016年8月実施専門 A4

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の密度は $(2\pi\sigma^2)^{-1/2}\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$ である。

(1) $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ のとき $(X-\mu)/\sigma$ が標準正規分布に従うことを示せ。

(2) 独立な $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ と実数 $a_1,a_2$ に対して $Y=a_1X_1+a_2X_2$ の分布を求めよ。

(3) $X_1,\ldots,X_n$ が独立に $N(\mu,\sigma^2)$ に従うとき、 $W=n^{-1}\sum_kX_k$ の分布を求めよ。

(1) 若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，用密度变换证明 $(X-\mu)/\sigma$ 服从标准正态分布。

(2) 若独立随机变量 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ ，求实线性组合 $a_1X_1+a_2X_2$ 的分布。

(3) 求独立同分布正态样本均值 $W=n^{-1}\sum_kX_k$ 的分布。

$x=\mu+\sigma z$ の変数変換により

f_Z(z)=\sigma\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{\sigma^2z^2}{2\sigma^2}\right) =\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}.

従って $Z\sim N(0,1)$ 。

正規分布の特性関数は $E(e^{itX_i})=\exp(i\mu_it-\sigma_i^2t^2/2)$ 。独立性より

E(e^{itY})=\prod_{i=1}^2E(e^{ita_iX_i}) =\exp\left(it(a_1\mu_1+a_2\mu_2)-\frac{t^2}2(a_1^2\sigma_1^2+a_2^2\sigma_2^2)\right).

従って

Y\sim N(a_1\mu_1+a_2\mu_2,\ a_1^2\sigma_1^2+a_2^2\sigma_2^2).

$a_1=a_2=0$ の場合は $Y=0$ の点質量である。

(2) を反復適用して

W\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).